Fórmula generalizada de Gauss-Bonnet

La fórmula generalizada de Gauss-Bonnet es una fórmula integral que expresa la característica de Euler de una variedad de Riemann de dimensión uniforme cerrada en términos de su curvatura. Esta es una generalización directa de la fórmula de Gauss-Bonnet a dimensiones superiores.

Historia

La fórmula generalizada de Gauss-Bonnet fue probada de forma independiente y casi simultánea por Weil [1] y Allendorfer [2] para variedades riemannianas cerradas que admiten incrustaciones isométricas en el espacio euclidiano. (La idea de la prueba era calcular el grado del mapeo gaussiano de la hipersuperficie formada por el límite de una pequeña vecindad tubular de una subvariedad dada). En este punto, no se sabía si todas las variedades permitían tales incrustaciones: El teorema de Nash sobre las incrustaciones regulares solo se demostró en 1956.

En 1945, Chern [3] generalizó la fórmula al caso de todas las variedades de Riemann.

Redacción

Sea una variedad Riemanniana compacta orientable de 2 n dimensiones sin límite, y sea su forma de curvatura . Tenga en cuenta que la forma se puede ver como una matriz simétrica sesgada cuyos componentes son 2 formas en . En particular, es una matriz sobre un anillo conmutativo $METRO$ $\Omega$ $\Omega$ $METRO$ $\Omega$

\bigwedge \nolimits ^{\text{incluso}}T^{*}M.

Por lo tanto, puede calcular su Pfaffian , que es una forma de 2 n . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Pf} (\ Omega)}$

La fórmula generalizada de Gauss-Bonnet se puede escribir como

\int \limits _{M}\operatorname {Pf} (\Omega )=(2\pi )^{n}\chi (M)

donde denota la característica de Euler . $\ji (M)$ $METRO$

Ejemplos

En la dimensión 2, la fórmula se convierte en la fórmula habitual de Gauss-Bonnet
En la dimensión cuatro, la fórmula se puede reescribir de la siguiente manera conveniente: $\chi (M)={\frac {1}{32\pi ^{2}}}\int \limits _{M}\left(|\mathrm {Rm} |^{2}-4| \mathrm {Rc} |^{2}+\mathrm {R} ^{2}\right)d\mu$ ,

donde es el tensor de curvatura total , es el tensor de Ricci , y es la curvatura escalar .

{\ estilo de visualización \ matemáticas {Rm}}

\mathrm {Rc}

{\ matemáticas {R}}

Véase también

Notas

↑ Weyl H. Sobre el volumen de los tubos. Amer J Matemáticas, 61: 461–472 (1939)
↑ Allendoerfer C B. El número de Euler de una variedad de Riemann. Amer J Matemáticas, 62: 243–248
↑ Chern , Shiing-Shen (1945), On the curvatura integra in Riemannian manifold , Annals of Mathematics Vol. 46(4): 674–684 , DOI 10.2307/1969203