Fórmula cardano

La fórmula de Cardano es una fórmula para encontrar las raíces de la forma canónica de una ecuación cúbica

y^{3}+py+q=0

sobre el campo de los números complejos . Lleva el nombre del matemático italiano Gerolamo Cardano , quien lo publicó en 1545 [1] . En 1545, Niccolo Tartaglia acusó a Cardano de plagio: este último, en el tratado Ars Magna , reveló un algoritmo para resolver ecuaciones cúbicas, confiado a él por Tartaglia en 1539 bajo la promesa de no publicar. Aunque Cardano no se atribuyó el algoritmo a sí mismo y declaró honestamente en el libro que los autores fueron Scipio del Ferro y Tartaglia, el algoritmo ahora se conoce con el nombre inmerecido de "fórmula de Cardano" [2] .

Cualquier ecuación cúbica de forma general

hacha^{3}+bx^{2}+cx+d=0

cambiando la variable

x=y-{\frac{b}{3a))

se puede reducir a la forma canónica anterior con los coeficientes

p={\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{3a^{2}}}={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2} }},

q={\frac {2b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {bc}{3a^{2}}}+{\frac {d}{a}}={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

Fórmula

Definamos el valor [3] :

$Q=\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}.$

Si todos los coeficientes de una ecuación cúbica son reales , entonces Q también es real, y su signo puede usarse para determinar el tipo de raíces [3] :

Q > 0: una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.
Q = 0 es una raíz real simple y una raíz real doble o, si p = q = 0, entonces una raíz real triple.
Q < 0 son tres raíces reales. Este es el caso llamado " irreducible ", y fue en el análisis de esta situación que históricamente surgió por primera vez el concepto de número complejo, porque el resultado real se obtiene mediante una fórmula que utiliza números complejos [3] .

Según la fórmula de Cardano, las raíces de una ecuación cúbica en forma canónica son:

$y_{1}=\alfa +\beta,$

$y_{{2,3}}=-{\frac {\alpha +\beta }{2}}\pm i{\frac {\alpha -\beta }{2}}{\sqrt {3}},$

dónde

\alpha ={\sqrt[ {3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {Q}}}},

\beta ={\raíz cuadrada[ {3}]{-{\frac {q}{2}}-{\raíz cuadrada {Q}}}},

En este caso, el discriminante del polinomio es igual a . $y^{3}+py+q$ $\Delta=-108Q$

Aplicando estas fórmulas, para cada uno de los tres valores es necesario tomar uno para el cual se cumpla la condición (tal valor siempre existe). $\alfa$ $\beta$ $\alfa \beta=-p/3$ $\beta$

Si la ecuación cúbica es real, entonces se recomienda elegir valores reales siempre que sea posible . $\Alfa Beta$

Conclusión

Representamos la ecuación en la forma

\prod _{{i=1}}^{3}(y-y_{i})=0\qquad (1)

donde están las raíces de la ecuación. Después $y_{yo}$

\prod _{{i=1}}^{3}(y_{i})=-q.\qquad (2)

Aceptemos:

\ -q=\alfa ^{3}+\beta ^{3}\qquad (3)

Entonces, resolviendo la ecuación (3) obtenemos

\ -q=(\alfa +\beta )(\alfa ^{2}+\beta ^{2}-\alfa \beta )\qquad (4)

Una de las raíces será . Sustituyendo en la ecuación original, obtenemos: $\ y=\alfa +\beta$

\alpha ^{3}+\beta ^{3}+(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )+q=0

Sustituyendo q de (3), llegamos al sistema:

\left\{{\begin{matriz}(3\alpha \beta +p)(\alpha +\beta )=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matriz }}\Correcto.

Sabiendo que en el caso general la suma no es igual a cero, obtenemos el sistema

\alfa +\beta

\left\{{\begin{matriz}(3\alpha \beta +p)=0\\\alpha ^{3}+\beta ^{3}=-q\end{matriz}}\right.

que es equivalente al sistema

\left\{{\begin{matriz}\alpha ^{3}\beta ^{3}=-{p^{3} \over 27}=m\\\alpha ^{3}+\beta ^{3 }=-q=-n\end{matriz}}\right.

La última es la fórmula de Vieta para dos raíces y una ecuación cuadrática: $\alfa ^{3}$ $\ beta ^ {3}$

\z^{2}+nz+m=0

Las dos raíces restantes se encuentran factorizando el polinomio

\ \alfa ^{2}+\beta ^{2}-\alfa \beta

Véase también

Literatura

Gusak A. A., Gusak G. M., Brichikova E. A. Manual de matemáticas superiores en dos volúmenes. - Minsk: Tetrasystems, 1999. - 640 p. — ISBN 985-6317-51-7 .
Korn G., Korn T. Manual de Matemáticas (para Investigadores e Ingenieros) . - M. : Nauka, 1973. - 720 p.

Notas

↑ Stillwell D. Matemáticas y su historia . - Moscú-Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2004. - P. 101. - 530 p. Archivado el 21 de octubre de 2014 en Wayback Machine . Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 20 de mayo de 2020. Archivado desde el original el 21 de octubre de 2014. (indefinido)
↑ Stillwell D. Matemáticas y su historia. - Moscú-Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2004. - P. 101. - 530 p.
↑ 1 2 3 Manual de matemáticas superiores, 1999 , p. 144.

Fórmula cardano

Fórmula

Véase también

Literatura

Notas

Enlaces