Metodo ferrari

El método Ferrari es un método analítico para resolver una ecuación algebraica de cuarto grado , propuesto por el matemático italiano Lodovico Ferrari .

Descripción del método

Deje que la ecuación del grado th tenga la forma $cuatro$

x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

(una)

Si es una raíz arbitraria de la ecuación cúbica $y_1$

y^{3}-by^{2}+(ac-4d)ya^{2}d+4bd-c^{2}=0

(2)

( resolutivos de la ecuación principal), entonces las cuatro raíces de la ecuación original se encuentran como las raíces de dos ecuaciones cuadráticas

x^{2}+{\frac {a}{2}}x+{\frac {y_{1}}{2}}=\pm {\sqrt {\left({\frac {a^{2}} {4}}-b+y_{1}\derecha)x^{2}+\izquierda({\frac {a}{2}}y_{1}-c\derecha)x+{\frac {y_{1 }^{2}}{4}}-d}},

donde la expresión radical del lado derecho es un cuadrado perfecto. Nótese que los discriminantes de la ecuación original (1) de cuarto grado y la ecuación (2) coinciden.

Representamos la ecuación de cuarto grado en la forma:

Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0,

Su solución se puede encontrar a partir de las siguientes expresiones:

\alpha =-{3B^{2} \sobre 8A^{2}}+{C \sobre A},

\beta ={B^{3} \sobre 8A^{3}}-{BC \sobre 2A^{2}}+{D \sobre A},

\gamma = -{3 B^4 \sobre 256 A^4} + {B^2 C \sobre 16 A^3} - {BD \sobre 4 A^2} + {E \sobre A},

si , entonces, resolviendo y, haciendo una sustitución , encontramos las raíces:

\beta=0

u^{4}+\alfa u^{2}+\gamma =0

x=u-{B\sobre 4A}

x=-{B \over 4A}\pm _{s}{\sqrt {-\alpha \pm _{t}{\sqrt {\alpha ^{2}-4\gamma }} \over 2)), \qquad \beta =0

P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,

Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},

R=-{Q \sobre 2}\pm {\sqrt {{Q^{{2}} \sobre 4}+{P^{{3}} \sobre 27}}}

, (cualquier signo de raíz cuadrada servirá)

U={\raíz cuadrada[ {3}]{R}}

, (tres raíces complejas, una de las cuales servirá)

y=-{5 \over 6}\alpha +U+{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[ {3}]{Q}}\\U\neq 0&\to {-P \over 3U}\end{casos}},

W={\sqrt {\alfa +2y))

x=-{B \over 4A}+{\pm _{s}W\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over W }\derecha)}} \sobre 2}.

Aquí y son dos parámetros independientes, cada uno de los cuales es , o . El número de pares posibles de sus valores es cuatro, y cada par produce una de las cuatro raíces de la ecuación original de cuarto grado. Si alguna de las raíces es múltiplo de , el número de pares de valores que le dan es igual al grado de su multiplicidad. Dependiendo de la elección (hay una ambigüedad al sacar la raíz cúbica), las raíces coincidirán con los pares en un orden diferente.

{\ estilo de visualización \ pm _ {s}}

{\ estilo de visualización \ pm _ {t}}

+

-

{\ estilo de visualización \ pm _ {s}}

{\ estilo de visualización \ pm _ {t}}

tu

Conclusión

Sea una ecuación de forma canónica:

\ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0

Denotemos las raíces de la ecuación como . Para las raíces de la ecuación en forma canónica, se cumplirá la siguiente relación: $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$

\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0:

Esta ecuación tendrá al menos dos raíces no válidas que serán conjugadas entre sí. Supondremos que esto

\ x_{3}=-W+iV

\ x_{4}=-W-IV

y , son números reales. Entonces las otras dos raíces se pueden escribir como $W$ $V$

\ x_{1}=W+k

\ x_{2}=W-iK

Aquí puede ser real o puramente imaginario. Expresamos a en términos de las raíces de la ecuación $k$

\ a=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{ 3}x_{4}=x_{1}x_{2}+(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+x_{3}x_{4}=

\ =(W^{2}+K^{2})+(W^{2}+V^{2})-4W^{2}=V^{2}+K^{2}-2W^ {2}

Expresamos K en términos de los coeficientes restantes:

\ K^{2}=a+2W^{2}-V^{2}

\ c=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=W^{4}+(V^{2}+K^{2})W^{2}+K^{2} V^{2}=W^{4}+2W^{4}+aV^{2}+2W^{2}V^{2}-V^{4}+aW^{2}

\ V^{4}-(a+2W^{2})V^{2}+c-3W^{4}-aW^{2}=0

Total

\ V^{2}=1/2((a+2W^{2})\pm {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4))})

\ b=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3} x_{4}=(W^{2}+K^{2})\cdot (-2W)+(W^{2}+V^{2})\cdot (2W)=2W(V^{2 }-K^{2})=

\ =2W(2V^{2}-a-2W^{2})=2W\cdot {\sqrt {a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4))}

O ${\ estilo de visualización \ b^{2}=4W^{2}\cdot (a^{2}-4c+8aW^{2}+16W^{4})}$

De aquí ${\ estilo de visualización \ 64W^{6}+32aW^{4}+4(a^{2}-4c)W^{2}-b^{2}=0}$

Reemplazando , obtenemos la resolución , resolviendo cuál, encontramos W $\ y=W^{2}$

Historia

Desde los 15 años, Luigi Ferrari fue alumno del matemático milanés Gerolamo Cardano , quien rápidamente descubrió sus destacadas habilidades. En ese momento, Cardano ya conocía un algoritmo para resolver ecuaciones cúbicas ; Ferrari fue capaz de encontrar una forma similar de resolver ecuaciones de cuarto grado . Cardano publicó ambos algoritmos en su libro High Art.

Metodo ferrari

Descripción del método

Conclusión

Historia

Véase también

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