Funtor derivado

Puede tomar funtores derivados de ciertos funtores para obtener otros funtores que estén estrechamente relacionados con los originales. Esta operación es bastante abstracta, pero combina una gran cantidad de construcciones en matemáticas .

Motivación

Se ha observado que en muchas situaciones una sucesión exacta corta permite construir una sucesión exacta larga. El concepto de un funtor derivado explica estas observaciones.

Sea un funtor exacto por la izquierda covariante F  : A → B entre las categorías abelianas A y B . Si 0 → A → B → C → 0 es una sucesión exacta corta en A , entonces al aplicar F se obtiene la sucesión exacta 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ). Surge la pregunta: ¿es posible continuar esta secuencia exacta hacia la derecha para obtener una secuencia exacta larga? Estrictamente hablando, esta pregunta es incorrecta, ya que siempre hay muchas formas diferentes de continuar una secuencia exacta hacia la derecha. Pero resulta (si A es lo suficientemente "bueno") que hay una forma canónica de hacer esto usando los funtores derivados por la derecha del funtor F . Para todo i ≥1 existe un funtor R i F : A → B y la secuencia anterior continúa de la siguiente manera: 0 → F ( A ) → F ( B ) → F ( C ) → R 1 F ( A ) → R 1 F ( segundo ) → R 1 F ( C ) → R 2 F ( UN ) → R 2 F ( segundo ) → … .

Construcción y primeras propiedades

La suposición clave que tenemos que hacer sobre una categoría abeliana A  es que tiene suficientes objetos inyectivos , en el sentido de que para cualquier objeto A de A hay un monomorfismo A → I , donde I  es un objeto inyectivo A.

Los funtores derivados por la derecha de un funtor exacto por la izquierda covariante F  : A → B se definen de la siguiente manera. Comencemos con un objeto X de categoría A. Como hay bastantes objetos inyectivos, podemos construir una secuencia exacta larga de la forma

donde I i son inyectivos (la llamada resolución inyectiva de X ). Aplicando el funtor F a esta sucesión y descartando el primer término, obtenemos el complejo de cadenas

Tenga en cuenta que, en general, no es una secuencia exacta. Pero podemos calcular su homología en el i-ésimo término (el núcleo del mapeo de F ( I i ) módulo la imagen del mapeo en F ( I i )); llamaremos al resultado R i F ( X ). Por supuesto, hay que comprobar varias cosas: que el resultado no dependa de la elección de la resolución inyectiva de X , y que cualquier morfismo X → Y genere naturalmente un morfismo R i F ( X ) → R i F ( Y ) , por lo que obtenemos un funtor. Tenga en cuenta que de la exactitud de la izquierda se deduce que 0 → F ( X ) → F ( I 0 ) → F ( I 1 ) es exacta, por lo que R 0 F ( X ) = F ( X ) y obtenemos algo interesante solamente para i >0.

(Técnicamente, para definir las derivadas de F , se debe fijar una resolución inyectiva para cada objeto A . Varias opciones del resolvente producen funtores naturalmente isomorfos, por lo que la elección no importa al final).

La propiedad de convertir secuencias exactas cortas en secuencias largas mencionada anteriormente se deriva del lema de la serpiente . Así, el conjunto de funtores derivados forma un δ-funtor .

Si el propio objeto X es inyectivo, podemos elegir la resolución inyectiva 0 → X → X → 0 y obtener R i F ( X ) = 0 para todo i ≥ 1. En la práctica, este hecho, junto con la existencia de un largo secuencia exacta, a menudo se usa para calcular los valores de las derivadas correctas de los funtores.

Variaciones

Si comenzamos con un funtor G exacto a la derecha covariante, y hay suficientes objetos proyectivos en la categoría A (es decir, para cualquier objeto A de la categoría A hay un epimorfismo P → A , donde P  es un objeto proyectivo ), entonces podemos definir de manera similar los funtores derivados por la izquierda L i G . Para un objeto X de categoría A , construimos una resolución proyectiva

donde P i son proyectivos. Aplicamos G a esta secuencia, descartamos el último término y calculamos la homología para obtener L i G ( X ). Como antes, L 0 G ( X ) = G ( X ).

En este caso, la secuencia exacta larga "crecerá" hacia la izquierda, no hacia la derecha:

da

.

Los funtores derivados por la izquierda desaparecen en los objetos proyectivos.

También podemos empezar con el funtor exacto izquierdo contravariante F ; los funtores derivados de la derecha resultantes también serán contravariantes. Secuencia exacta corta

se convierte en una secuencia exacta larga

Estos funtores derivados de la derecha desaparecen en los objetos proyectivos y, por lo tanto, se calculan utilizando resoluciones proyectivas.

Aplicaciones

Cohomología de gavillas . Si X  es un espacio topológico , entonces la categoría de todos los haces de grupos abelianos en X  es una categoría abeliana en la que hay suficientes objetos inyectivos. El funtor que asocia el haz L con el grupo de sección global L ( X ) es exacto a la izquierda, y sus funtores derivados a la derecha son funtores de cohomología del haz, generalmente indicados como H i ( X , L ). Un poco más en general: si ( X , O X ) es un espacio anillado , entonces la categoría de todas las poleas de O X -módulos es una categoría abeliana en la que hay suficientes objetos inyectivos, y podemos construir nuevamente la cohomología de las poleas como funtores derivados del funtor de sección global.  

Functor Ext . Si R  es un anillo , entonces la categoría de todos los módulos R restantes es abeliana y hay suficientes objetos inyectivos en ella. Si A es un módulo R  fijo a la izquierda, entonces el funtor Hom( A ,-) es exacto a la izquierda y sus funtores derivados a la derecha son los funtores Ext R i ( A ,-).

Functor Tor . Hay bastantes objetos proyectivos en la categoría deRizquierdos. SiAR derecho fijo, entonces elproducto tensorialconAes un funtor covariante exacto derecho en la categoría de losRizquierdos; sus funtores derivados por la izquierda son los funtores Tor R i (A,-).

Cohomología de grupos . SeaG ungrupo. El módulo G M es un grupo abelianoMjunto con la acción del grupoGsobreMautomorfismos. Este es el mismo que el módulo sobre elanillo de grupo ZG. Los módulos Gforman una categoría abeliana, en la que hay bastantes objetos inyectivos. DenotamosM G el subgrupo deMque consta de elementos deMfijados bajo la acción deG. Este es un funtor exacto por la izquierda, sus funtores derivados por la derecha son funtores de cohomología de grupo, generalmente indicados como H i (G,M).  

Literatura