En matemáticas , la función de distribución de primos , o función pi , es una función igual al número de primos menor o igual que el número real x . [1] [2] Se denota (no tiene nada que ver con pi ).
De gran interés en teoría de números es la tasa de crecimiento de la función pi. [3] [4] A finales del siglo XVIII, Gauss y Legendre sugirieron que la función pi se estima como
en el sentido de que
Este enunciado es el teorema de distribución de números primos . Es equivalente a la declaración
donde es el logaritmo integral de . El teorema de los números primos fue probado por primera vez en 1896 por Jacques Hadamard e independientemente por Vallée-Poussin , utilizando la función zeta de Riemann introducida por Riemann en 1859.
Más precisamente, el crecimiento ahora se describe como
donde denota O grande . Sin embargo, cuando x no es muy grande mayor que , la diferencia cambia de signo un número infinito de veces, el número natural más pequeño para el que se produce un cambio de signo se denomina número de Skewes .
En 1948, Atle Selberg y Paul Erdős encontraron pruebas del teorema de los números primos que no utilizan la función zeta o el análisis complejo (en su mayoría de forma independiente). [5]
La siguiente tabla muestra el crecimiento de funciones en potencias de 10 [3] [6] [7] [8] .
X | π( x ) | π( x ) − x / log x | li( x ) − π( x ) | x / π( x ) | π( x )/x (fracción de números primos) |
---|---|---|---|---|---|
diez | cuatro | −0,3 | 2.2 | 2,500 | 40% |
10 2 | 25 | 3.3 | 5.1 | 4,000 | 25% |
10 3 | 168 | 23 | diez | 5.952 | 16,8% |
10 4 | 1 229 | 143 | 17 | 8.137 | 12,3% |
10 5 | 9 592 | 906 | 38 | 10.425 | 9,59% |
10 6 | 78 498 | 6 116 | 130 | 12,740 | 7,85% |
10 7 | 664 579 | 44 158 | 339 | 15.047 | 6,65% |
10 8 | 5 761 455 | 332 774 | 754 | 17.357 | 5,76% |
10 9 | 50 847 534 | 2 592 592 | 1 701 | 19.667 | 5,08% |
10 10 | 455 052 511 | 20 758 029 | 3 104 | 21.975 | 4,55% |
10 11 | 4 118 054 813 | 169 923 159 | 11 588 | 24.283 | 4,12% |
10 12 | 37 607 912 018 | 1 416 705 193 | 38 263 | 26.590 | 3,76% |
10 13 | 346 065 536 839 | 11 992 858 452 | 108 971 | 28.896 | 3,46% |
10 14 | 3 204 941 750 802 | 102 838 308 636 | 314 890 | 31.202 | 3,20% |
10 15 | 29 844 570 422 669 | 891 604 962 452 | 1 052 619 | 33.507 | 2,98% |
10 16 | 279 238 341 033 925 | 7 804 289 844 393 | 3 214 632 | 35.812 | 2,79% |
10 17 | 2 623 557 157 654 233 | 68 883 734 693 281 | 7 956 589 | 38.116 | 2,62% |
10 18 | 24 739 954 287 740 860 | 612 483 070 893 536 | 21 949 555 | 40.420 | 2,47% |
10 19 | 234 057 667 276 344 607 | 5 481 624 169 369 960 | 99 877 775 | 42.725 | 2,34% |
10 20 | 2220 819 602 560 918 840 | 49 347 193 044 659 701 | 222 744 644 | 45.028 | 2,22% |
10 21 | 21 127 269 486 018 731 928 | 446 579 871 578 168 707 | 597 394 254 | 47.332 | 2,11% |
10 22 | 201 467 286 689 315 906 290 | 4 060 704 006 019 620 994 | 1 932 355 208 | 49.636 | 2,01% |
10 23 | 1 925 320 391 606 803 968 923 | 37 083 513 766 578 631 309 | 7 250 186 216 | 51.939 | 1,92% |
10 24 | 18 435 599 767 349 200 867 866 | 339 996 354 713 708 049 069 | 17 146 907 278 | 54.243 | 1,84% |
10 25 | 176 846 309 399 143 769 411 680 | 3 128 516 637 843 038 351 228 | 55 160 980 939 | 56.546 | 1,77% |
10 26 | 1 699 246 750 872 437 141 327 603 | 28 883 358 936 853 188 823 261 | 155 891 678 121 | 58,850 | 1,70% |
10 27 | 16 352 460 426 841 680 446 427 399 | 267 479 615 610 131 274 163 365 | 508 666 658 006 | 61.153 | 1,64% |
En OEIS , la primera columna de valores es la secuencia A006880 , es la secuencia A057835 y es la secuencia A057752 .
Una forma fácil de encontrar , si no muy grande, es usar el tamiz de Eratóstenes que da números primos que no se excedan y contarlos.
Legendre dio una forma más reflexiva de calcular : dado , si son números primos diferentes, entonces el número de enteros que no exceden y no son divisibles de todos modos
(donde denota la parte entera ). Por lo tanto, el número resultante es
si los números son todos números primos que no excedan de .
En 1870-1885, en una serie de artículos, Ernst Meissel describió (y usó) una forma combinatoria práctica de calcular . Sean los primeros primos, denotan el número de números naturales que no exceden , que no son divisibles por ninguno . Después
Toma lo natural , si y si , entonces
Usando este enfoque, Meissel calculó para .
En 1959, Derrick Henry Lehmer amplió y simplificó el método de Meissel. Definamos, para los números reales y naturales , como el número de números que no exceden m y que tienen exactamente k factores primos, todos los cuales exceden a . Además, pongamos . Después
donde la suma obviamente siempre tiene un número finito de términos distintos de cero. Sea un entero tal que , y establezca . Entonces y en . Como consecuencia
El cálculo se puede obtener de la siguiente manera:
Por otro lado, el cálculo se puede hacer usando las siguientes reglas:
Usando este método y un IBM 701, Lemaire pudo calcular .
Lagarias, Miller, Odlyzko, Deleglise y Rivat realizaron mejoras adicionales a este método. [9]
El matemático chino Hwang Cheng usó las siguientes identidades: [10]
y, suponiendo , realizando la transformada de Laplace de ambas partes y aplicando la suma de una progresión geométrica con , se obtiene la expresión:
También se usan otras funciones que cuentan números primos porque es más conveniente trabajar con ellas. Una de ellas es la función de Riemann, a menudo denotada como o . Salta 1/n para potencias de números primos , y en el punto de salto su valor es la mitad de la suma de los valores a ambos lados de . Estos detalles adicionales son necesarios para que pueda determinarse mediante la transformada inversa de Mellin . Formalmente, definimos como
donde p es primo.
También podemos escribir
donde es la función de Mangoldt y
La fórmula de inversión de Möbius da
Usando la relación conocida entre el logaritmo de la función zeta de Riemann y la función de Mangoldt , y usando la fórmula de Perron , obtenemos
La función de Riemann tiene una función generadora
Las funciones de Chebyshev son funciones que calculan potencias de números primos con peso :
Las fórmulas para funciones que cuentan números primos son de dos tipos: fórmulas aritméticas y fórmulas analíticas. Las fórmulas analíticas para tales funciones se utilizaron por primera vez para probar el teorema de los números primos . Vienen del trabajo de Riemann y Mangoldt y generalmente se conocen como fórmulas explícitas . [once]
Existe la siguiente expresión para la función de Chebyshev:
dónde
Aquí los ceros de la función zeta se encuentran en la banda crítica, donde la parte real se encuentra entre cero y uno. La fórmula es válida para todos . La serie en términos de raíces converge condicionalmente, y puede tomarse en el orden del valor absoluto del incremento en la parte imaginaria de las raíces. Tenga en cuenta que una suma similar sobre raíces triviales da el último término de la fórmula.
Porque tenemos la siguiente fórmula compleja
De nuevo, la fórmula es válida para todo , donde son ceros no triviales de la función zeta, ordenados por su valor absoluto, y, de nuevo, la última integral se toma con signo menos y es la misma suma, pero sobre ceros triviales. La expresión en el segundo término se puede considerar como , donde es la continuación analítica de la función exponencial integral al plano complejo con una rama cortada a lo largo de la línea .
Así, la fórmula de inversión de Möbius nos da [12]
correcto para , donde
se llama la función R, también después de Riemann. [13] La última serie en ella se conoce como la serie de Gram [14] y converge para todos .
La suma de ceros no triviales de la función zeta en la fórmula para describe las fluctuaciones de , mientras que los términos restantes dan la parte suave de la función pi, [15] por lo que podemos usar
como la mejor aproximación para para .
La amplitud de la parte "ruidosa" se estima heurísticamente como , por lo que las fluctuaciones en la distribución de números primos se pueden representar explícitamente mediante la función -
Las tablas de valores extensivos están disponibles aquí. [7]
Aquí hay algunas desigualdades para .
La desigualdad de la izquierda se cumple para , y la de la derecha, para [16]
Desigualdades para el enésimo número primo :
La desigualdad de la izquierda es cierta para , y la de la derecha para .
Las siguientes asintóticas se cumplen para el número primo número th :
La hipótesis de Riemann es equivalente a un límite más preciso en el error de aproximación por el logaritmo integral y, por lo tanto, a una distribución más regular de números primos.
En particular, [17]