Funciones del cilindro parabólico

Funciones de cilindro parabólico ( funciones de Weber ) es un nombre común para funciones especiales que son soluciones de ecuaciones diferenciales obtenidas aplicando el método de separación de variables para ecuaciones de física matemática , como la ecuación de Laplace , ecuación de Poisson , ecuación de Helmholtz , etc . Sistema de coordenadas del cilindro parabólico .

En el caso general, las funciones de un cilindro parabólico son soluciones de la siguiente ecuación

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(az^{2}+bz+c\right)f=0.\quad (1)

Al realizar un cambio lineal de variable en esta ecuación, se obtiene la siguiente ecuación:

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(\nu +{\frac 12}-{\frac {z^{2}}{4}}\right)f =0,

cuyas soluciones se denominan funciones de Weber y se denotan $D_{\nu }(z).$

Las funciones son soluciones de la ecuación de Weber y, para un número no entero , las funciones son linealmente independientes. Porque todas las funciones son también linealmente independientes. $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{\nu }(-z)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)$

En la práctica, a menudo se utilizan otras funciones de cilindro parabólico: funciones de Hermite , que son soluciones de la ecuación de Hermite , que se obtiene del reemplazo $(una)$ $f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)$

{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+2\nu y=0.\qquad (2)

Las funciones de Hermite se denotan por la solución general de la ecuación $H_{\nu }(z).$ ${\ estilo de visualización (2):}$

y(z)=c_{1}H_{\nu }(z)+c_{2}\Phi \left(-{\frac {\nu }{2));{\frac {1}{ 2}};z^{2}\derecha),

donde es una función hipergeométrica degenerada . ${\ estilo de visualización \ Phi \ izquierda (\ alfa; \ beta; z \ derecha)}$

Para un entero no negativo , la función de Hermite coincide con el polinomio de Hermite . Para un entero negativo , la función de Hermite se expresa en forma cerrada en términos de la función de error . $\nu$ $\nu$

Relaciones recurrentes y fórmulas de diferenciación

Relaciones recurrentes

D_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\nu +1)}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{{\frac {1}{2} }\nu \pi i}D_{-\nu -1}(iz)+e^{-{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(-iz )\Correcto)

D_{\nu }(z)=zD_{\nu -1}(z)-(\nu -1)D_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)=2zH_{\nu -1}(z)-2(\nu -1)H_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)={\frac {2z}{2(\nu +1)))H_{\nu +1}(z)-{\frac {1}{2(\nu +1)))H_{\nu +2}(z)

2\nu ~H_{{\nu -1}}(z)+H_{{\nu +1}}(z)=2zH_{\nu }(z)

Fórmulas de diferenciación

{\frac {d}{dz}}~D_{\nu }(z)=-{\dfrac {1}{2}}zD_{\nu }(z)+\nu D_{{\nu -1} }(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)=2\nu H_{\nu -1}(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)-2zH_{\nu }(z)=-H_{{\nu +1}}(z)

{\frac {d}{dz}}{\Bigl [}e^{{-z^{2}}}~H_{\nu }(z){\Bigr ]}=-e^{{-z^ {2}}}H_{{\nu +1}}(z)

Representaciones integrales

Comportamiento asintótico

En el origen

En el infinito

Literatura

Whittaker, Watson. Curso de Análisis Moderno, 1963, Volumen 2
Bateman, Erdeyi Funciones trascendentales superiores, Volumen 2

HF Weber , "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung " Math. Ana. , 1 (1869) págs. 1–36

{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y^{2))}+k^{2 }u=0

Enlaces

Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds., Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas 1972, Dover: Nueva York. capitulo 19
Weisstein, Eric W. Función del cilindro parabólico. De MathWorld: un recurso web de Wolfram.
Weisstein, Eric W. Ecuación diferencial del cilindro parabólico. De MathWorld: un recurso web de Wolfram.