Polinomios de Hermite

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Polinomios de Hermite
información general
Fórmula	$H_{n}(x)=\sum_{{j=0}}^{{[n/2]}}{(-1)^{j}}{\frac {n!}{j!(n -2j)!}}(2x)^{{n-2j}}$
producto escalar	$(f,g)=\int_{{-\infty}}^{\infty}e^{{-x^{2}}}f(x)g(x)dx$
Dominio	$x\en R$
características adicionales
Ecuación diferencial	$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$
Norma	$\\|H_{n}\\|={\sqrt {2^{n}n!{\sqrt {\pi ))))$
Lleva el nombre de	Carlos Hermite

Los polinomios de Hermite son un cierto tipo de secuencia de polinomios de una variable real. Los polinomios de Hermite surgen en la teoría de la probabilidad , en la combinatoria y en la física .

Nombrado en honor al matemático francés Charles Hermite .

Definición

En la teoría de la probabilidad, los polinomios de Hermite generalmente se definen por:

H_{n}^{\mathrm {matemáticas} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx ^{n}}}e^{-x^{2}/2}

;

en física se suele utilizar otra definición:

H_{n}^{\mathrm {física} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{ n}}}e^{-x^{2}}

Las dos definiciones anteriores no son exactamente equivalentes entre sí; cada uno es una versión "a escala" del otro

H_{n}^{\mathrm {física} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {matemáticas} }({\sqrt {2}}\,x)

Las expresiones explícitas para los primeros once (n = 0,1,…,10) polinomios de Hermite se dan a continuación (definición probabilística):

{\ estilo de visualización H_ {0} (x) = 1}

H_{1}(x)=x

H_{2}(x)=x^{2}-1

H_{3}(x)=x^{3}-3x

H_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3

H_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x

H_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15

H_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x

H_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105

H_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x

H_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{2}-945

Los primeros once (n = 0,1,…,10) polinomios de Hermite en la definición física se definen de manera similar:

{\ estilo de visualización H_ {0} (x) = 1}

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x

H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120

H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x

H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680

H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x

H_{10}(x)=1024x^{10}-23040x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240

La ecuación general para los polinomios de Hermite es: $H_{n}(x)=\sum _{j=0}^{\lpiso n/2\rpiso}{(-1)^{j)){\frac {n!}{j!( n-2j)!}}(2x)^{n-2j}=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1}}(2x)^{n-2}+ {\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2}}(2x)^{n-4}-\ldots,$

Propiedades

El polinomio contiene solo miembros de la misma paridad que el número mismo : $H_n(x)$ $norte$
El polinomio es par para par e impar para impar : $H_n(x)$ $norte$ $norte$ $H_{2n}(-x)=H_{2n}(x),\quad H_{2n+1}(-x)=-H_{2n+1}(x),\quad n=0, 1,2,\ldots$ .
Las siguientes relaciones son verdaderas: $x=0$ $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\dfrac {(2n)!}{n!}}),~~H_ { {2n+1}}=0,~~~n=0,1,2,\ldots$ , (en definición probabilística) $H_{{2n}}(0)={\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{n!}},~~H_{{2n+1}}=0,~~~n =0,1,2,\ldots$ . (en definición física)
La ecuación tiene raíces reales que son simétricas por pares con respecto al origen del sistema de coordenadas, y el módulo de cada una de ellas no excede de . Las raíces polinómicas se alternan con raíces polinómicas . $H_{n}(x)=0$ $norte$ ${\sqrt {n(n-1)/2))$ $H_{n}(x)=0$ $H_{{n+1}}(x)=0$
Un polinomio se puede representar como un determinante matricial : $H_n(x)$ $n\veces n$ $H_{n}(x)=\left|{\begin{matriz}{cccccc}x&n-1&0&0&\cdots &0\\1&x&n-2&0&\cdots &0\\0&1&x&n-3&\cdots &0\\\cdots &\cdots & \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&0&0&0&\cdots &x\end{matriz}}\right|$

Fórmula de adición

Se cumple la siguiente fórmula de suma para los polinomios de Hermite:

{\frac{(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})^{{{\frac {\mu}{2))} }}{\mu !}}H_{{\mu }}\left[{\frac {a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots a_{n}x_{n} }{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2))))}\right]=\sum_{{m_{ 1}+\cdots +m_{n}=\mu }}{\frac {a_{1}^{{m_{1}}}}{m_{1}!}}\cdots {\frac {a_{n }^{{m_{n}}}}{m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x_{1})\cdots H_{{m_{n}}}(x_{n} )~.

Es fácil ver que las siguientes fórmulas son sus casos especiales:

$a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=1$ , . Después $x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}$

n^{{{\frac {\mu }{2}}}}H_{{\mu }}({\sqrt {n}}x)=\sum_{{m_{1}+\cdots +m_{ n}=\mu }}{\frac {\mu !}{m_{1}!\cdots m_{n}!}}H_{{m_{1}}}(x)\cdots H_{{m_{n }}}(X)

$n=2$ , , . Después $a_{1}=a_{2}=1$ $x_{1}={\raíz cuadrada {2}}x,~x_{2}={\raíz cuadrada {2}}y$

2^{\mu }H_{{\mu }}(x+y)=\sum _{{p+q+r+s=\mu }}{\frac {\mu !}{p!~q! ~r!~s!}}H_{p}(x)H_{q}(x)H_{p}(y)H_{q}(y)

Relaciones de diferenciación y recurrencia

La derivada de orden th de un polinomio de Hermite también es un polinomio de Hermite (para la definición física): Esto da la relación para la primera derivada (para la definición física) y la relación de recurrencia entre tres polinomios consecutivos: Para la definición física, el La relación de recurrencia entre tres polinomios consecutivos es: $k$ $H_n(x)$ $n \ geq k$
${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}H_{n}(x)=2^{k}n(n-1)\cdots (n-k+1)H_ {nk}(x)~,$

$H'_{n}(x)={\frac {dH_{n}(x)}{dx))=2nH_{n-1}(x)$

$H_{n}(x)-xH_{{n-1}}(x)+(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

$H_{n}(x)-2xH_{{n-1}}(x)+2(n-1)H_{{n-2}}(x)=0~,~~n\geq 2$

Ortogonalidad

Los polinomios de Hermite forman un sistema ortogonal completo en un intervalo con peso o según la definición: $(-\infty,+\infty)$ ${\ estilo de visualización e^{-x^{2}/2}}$ $e^{-x^{2}}$

\int _{{-\infty}}^{\infty}H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}/2}}\,dx=n !{\sqrt {2\pi }}~\delta_{{{\mathit {nm}}}}

, (en definición probabilística)

\int _{{-\infty}}^{\infty}H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{{-x^{2}}}\,dx=2^{ n}n!{\sqrt {\pi }}~\delta _{({\mathit {nm))))

, (en la definición física)

donde está el símbolo delta de Kronecker . $\delta _{{mn}}$

Una consecuencia importante de la ortogonalidad de los polinomios de Hermite es la posibilidad de expandir varias funciones en series en términos de polinomios de Hermite. Para cualquier entero no negativo , la notación $pags$

${\frac {x^{p}}{p!}}=\sum_{{k=0}}^{{k\leq p/2}}{\frac {1}{2^{k}} }{\frac {1}{k!(p-2k)!}}H_{{p-2k}}(x).$

De aquí surge una conexión entre los coeficientes de expansión de una función en la serie de Maclaurin y los coeficientes de expansión de la misma función en términos de polinomios de Hermite, que se denominan relaciones de Niels Nielsen: $f(x)=\sum_{{n=0}}^{\infty}a_{n}x^{n}$ $f(x)=\sum_{{n=0}}^{\infty}A_{n}H_{n}(x)$

$A_{n}={\frac {1}{n!}}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {( n+2k)!}{k!}}a_{{n+2k}},~~~a_{n}={\frac {1}{n!)}}\sum_{{k=0}} ^ {\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}{\frac {(n+2k)!}{k!)}}A_{{n+2k} }$

Por ejemplo, la expansión de la función Kummer se verá así:

${}_{1}F_{1}(\alpha ,\gamma ;x)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {(\alpha ,n)}{(\gamma ,n)(1,n)}}{}_{2}F_{2}\left({\frac {\alpha +n}{2)),{\frac {\alpha +n+1}{2 ));{\frac {\gamma +n}{2)),{\frac {\gamma +n+1}{2));{\frac {1}{2))\right)H_{n} (x),~~~(a,b)\equiv {\frac {\Gamma (a+b)}{\Gamma (a))),$

donde es una función hipergeométrica generalizada de segundo orden, es la función gamma . ${}_{2}F_{2}(a_{1},a_{2};b_{1},b_{2};x)$ $\gamma (x)$

Descomposición de funciones en las que existe un exponente .

Para cualquier función que se escribe como una superposición del exponente , se puede escribir la siguiente expansión en términos de polinomios de Hermite: $f(x)=\sum_{{k=1}}^{{p}}c_{k}e^{{\alpha_{k}x}},$
$f(x)=\sum_{{n=0}}^{{\infty}}A_{n}H_{n}(x)~,~~~A_{n}={\frac {1}{ n!}}\sum_{{k=1}}^{{p}}c_{k}\alpha_{k}^{n}e^{({\frac {\alpha_{k}^{ 2}}{2}}}}~.$

Las expansiones de funciones hiperbólicas y trigonométricas conocidas tienen la forma

{\mathrm {ch}}\,{tx}=e^{({\frac {t^{2}}{2}}}}\sum_{{n=0}}^{\infty}{\ fracción {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~{\mathrm {sh}}\,{tx}=e^{{{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum_{{n=0}}^{\infty }{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+1)!} }H_{{2n+1}}(x),

\cos {tx}=e^{{-{\frac {t^{2}}{2}}}}\sum_{{n=0}}^{\infty}(-1)^{n} {\frac {t^{{2n}}}{(2n)!}}H_{{2n}}(x),~~~\sin {tx}=e^{{-{\frac {t^{ 2}}{2}}}}\sum _{{n=0}}^{\infty}(-1)^{n}{\frac {t^{{2n+1}}}{(2n+ 1 )!}}H_{{2n+1}}(x),

Ecuaciones diferenciales

Los polinomios de Hermite son soluciones a la ecuación diferencial lineal : $H_n(x)$

$y''(x)-2xy'(x)+2ny(x)=0$

Si es un número entero, entonces la solución general de la ecuación anterior se escribe como $norte$

$y(x)=AH_{n}(x)+Bh_{n}(x)$ ,

donde son constantes arbitrarias, y las funciones se denominan funciones de Hermite de segunda especie . Estas funciones no se reducen a polinomios y solo se pueden expresar mediante las funciones trascendentales y . $A,B$ $h_{n}(x)$ $e^{{x^{2}/2}}$ $\int _{0}^{x}e^{{z^{2}/2}}dz$

Vistas

Los polinomios de Hermite asumen las siguientes representaciones:

$H_{n}(x)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\Gamma }{\frac {e^{{zx-z^{2}/2}}}{ z^{{n+1}}}}\,dz$

donde es el contorno que encierra el origen. $\Gama$

Otra representación se parece a:

$H_{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}(x+iy)^ {n}e^{{-{\frac {y^{2}}{2}}}}día$ .

Relación con otras funciones especiales

Relación con la función de Kummer: $H_{{2n}}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n)!}{n!}}~{}_{ 1}F_{1}\left(-n;{\frac {1}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\right)~,~~~H_{{2n+ 1 }}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}}}{\frac {(2n+1)!}{n!)}}x~{}_{ 1}F_{1}\izquierda(-n;{\frac {3}{2));{\frac {x^{2}}{2}}\derecha)$
Conexión con polinomios de Laguerre : $H_{2n}(x)=(-2)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2}/2)\,\ !,~~~H_{2n+1}(x)=(-2)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2} /2)$

Aplicación

En la mecánica cuántica , los polinomios de Hermite entran en la expresión de la función de onda de un oscilador armónico cuántico . En variables adimensionales , la ecuación de Schrödinger , que describe el estado de un oscilador armónico cuántico, tiene la forma:

\left(-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+x^{2}\right)\psi _{n}(x)=\lambda _{n}\psi _ {n}(x)

. Las soluciones de esta ecuación son las funciones propias del oscilador, que corresponden a los valores propios . Normalizados a uno, se escriben como

\lambda _{n}=2n+1

\psi _{n}(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {2 ^{n}n!{\sqrt {\pi }}}}}H_{n}^{*}(x)~,~~n=0,1,2,\puntos

. En esta expresión, se utilizan los polinomios de Hermite "físicos" .

H_{n}^{*}(x)

Los polinomios de Hermite se utilizan para resolver la ecuación de calor unidimensional en un intervalo infinito. Esta ecuación tiene solución en forma de función exponencial . Dado que tal función se puede representar como una expansión en términos de polinomios de Hermite y, por otro lado, se puede expandir en una serie de Taylor en términos de : $u_{t}-u_{{xx}}=0$ $u(x,t)=e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t))$ $\alfa$

e^{{\alpha x+\alpha ^{2}t}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}}{n!)}}P_ {n}(x,t)

, entonces las funciones , que son la solución de la ecuación del calor y satisfacen la condición inicial , se expresan en términos de los polinomios de Hermite de la siguiente manera:

P_{n}(x,t)

P_{n}(x,t=0)=x^{n}

P_{n}(x,t)=(i{\sqrt {2t)))^{n}H_{n}\left({\frac {x}{i{\sqrt {2t))))\right )={\frac {1}{{\sqrt {4\pi t))))\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}e^{{-{\frac {(xy )^{2}}{4t}}}}a^{n}día

. Para obtener la última igualdad se utilizó la integral de Poisson -Fourier .

En la física del láser, o mejor dicho, en la teoría de los resonadores (ópticos) abiertos , los polinomios de Hermite están incluidos en la expresión que describe la distribución de amplitud en la sección transversal del correspondiente modo transversal de Hermite-Gauss (en realidad, el producto de uno de los Polinomios de Hermite y la función gaussiana ), característicos de los resonadores ópticos con forma rectangular de los espejos del resonador.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Hermite Polynomial (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Módulo para interpolación de polinomios de Hermite por John H. Mathews

polinomios ortogonales
Polinomios de Bessel Polinomios de Gegenbauer Polinomios de Kravchuk Polinomios de Laguerre Polinomios de Legendre Polinomios de Polachek Polinomios de Rogers Polinomios de Zernike Polinomios de Chebyshev Polinomios de Charlier Polinomios de Hermite Polinomios de Jacobi