Función de Landau

La función de Landau en teoría de números , llamada así por el matemático alemán Edmund Landau , se define para cualquier número natural n como el orden más grande de un elemento del grupo simétrico . $g(n)$ $S_{n}$

Definiciones

Definiciones equivalentes: igual al mayor de los mínimos comunes múltiplos (LCM) sobre todas las particiones del número n , o el número máximo de veces que se puede aplicar sucesivamente una permutación de n elementos antes de la primera aparición de la secuencia original. Entonces formalmente: $g(n)$

g(n)=\max \limits_{k_{1}+\ldots +k_{m}=n}HOK(k_{1},\ldots,k_{m})

Por ejemplo, 5 = 2 + 3 y MCM(2,3) = 6. Ninguna otra partición da un mínimo común múltiplo mayor, por lo tanto . Un elemento de orden 6 en un grupo se puede escribir como producto de dos ciclos: (1 2) (3 4 5). ${\ estilo de visualización g (5) = 6}$ $S_5$

Propiedades

Secuencia entera g (0)=1, g (1)=1, g (2)=2, g (3)=3, g (4)=4, g (5)=6, g (6)=6 , g (7) = 12, g (8) = 15, ... es la secuencia OEIS A000793 , llamada así por Edmund Landau , quien demostró en 1902 [1] que

\lim _{n\to \infty}}{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)))}=1

(donde ln representa el logaritmo natural ).

En este caso, los máximos locales de la expresión bajo el signo límite se dan en n = 2, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17, 19, 30, 36, 40,… (secuencia A103635 en OEIS ).

La afirmación de que

\ln g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)))

para todo n , donde denota el inverso del logaritmo integral , es equivalente a la hipótesis de Riemann . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Li} ^ {-1))$

Otras proporciones:

En MCM (1, 2, …, n) . La primera desigualdad se deriva del hecho de que es una de las particiones, la segunda asintótica de la afirmación de Landau. $\leqslant \ln g\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\sim n{\sqrt {\ln n}}$ $1+2+\dots +n={\frac {n(n+1)}{2))$
Sea gpf( g(n) ) el mayor factor primo de g(n) . Los valores de esta función para n=2, 3,... serán 2, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 11, … (secuencia A129759 en OEIS ). JL Nicolás en 1969 lo demostró . J. P. Massías et al. (1988, 1989) mostró que para todos , y J. Grantham (1995) mostró que para todos la constante 2.86 se puede mejorar a 1.328. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {gpf} (g (n)) \ sim {\ sqrt {n \ ln n))}$ $n\geqslant 2$ $\operatorname {gpf} (g(n))\leqslant 2{,}86{\sqrt {n\ln n))$ $n \ geqslant 5$

Notas

↑ Landau, págs. 92-103

Literatura

E. Landau , "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [Sobre el orden máximo de permutación de un orden dado]", Arch. Matemáticas. física Ser. 3, vol. 5, 1903.
W. Miller, "El orden máximo de un elemento de un grupo simétrico finito", American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, págs. 497-506.
JL Nicolas, "Sobre la función g ( n ) de Landau", en Las matemáticas de Paul Erdős , vol. 1, Springer-Verlag , 1997, págs. 228-240.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Landau Función (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
la secuencia A000793 en OEIS es la función de Landau para números naturales.