Caracterización (álgebra)

Una característica es un valor numérico usado en álgebra general para describir ciertas propiedades de anillos o campos .

Para un anillo , la característica es el entero más pequeño tal que para cada elemento se cumple la igualdad: $R$ ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R$ $n>0$ $r\en R$

n\cdot r=\soporte {r+\cdots +r}_{n}=0

y si tal número no existe, entonces . ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R=0$

Si hay una unidad en el anillo , la característica se puede definir como el número natural distinto de cero más pequeño tal que , pero si no hay tal número, entonces la característica es igual a cero. $R$ $norte$ $n\cdot 1=0$ $norte$

Las características del anillo de los números enteros , el campo de los números racionales , el campo de los números reales , el campo de los números complejos son iguales a cero. La característica del anillo residual es . La característica del campo finito , donde es un número primo, es un número entero positivo, es igual a . $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {C}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $norte$ ${\matemáticas {F}}_{{p^{m}}}$ $pags$ $metro$ $pags$

Un anillo trivial con un solo elemento es el único anillo con característica . $0=1$ $una$

Si un anillo no trivial con unidad y sin divisores de cero tiene característica positiva , entonces es un número primo. Por lo tanto, la característica de cualquier campo es , o un número primo . En el primer caso, el campo contiene como subcampo un campo isomorfo al campo de los números racionales , en el segundo caso, el campo contiene como subcampo un campo isomorfo al campo de los residuos . En ambos casos, este subcampo se denomina campo simple (contenido por ). $norte$ $k$ ${\ estilo de visualización 0}$ $pags$ $k$ $\matemáticas {Q}$ $k$ $\mathbb {F} _{p}$ $k$

La característica de un campo finito siempre es positiva, pero el hecho de que la característica de un campo sea positiva no implica que el campo sea finito. Como contraejemplos, se puede citar el campo de funciones racionales con coeficientes en y el cierre algebraico del campo . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$

Si es un anillo conmutativo de característica prima , entonces para todos , . Para tales anillos se puede definir un endomorfismo de Frobenius . $R$ $pags$ $(a+b)^{{p^{n}}}=a^{{p^{n}}}+b^{{p^{n}}}$ $a, b\en R$ $n\en \mathbb {N}$

Literatura

Lidl R., Niederreiter G. Campos finitos: en 2 volúmenes T. 1. Per. De inglés. — M.: Mir, 1988.
Kostrikin A.I. Introducción al álgebra. — M.: Nauka, 1977.
Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Álgebra: libro de texto. En 2 vols.T.2.- M.: Helios ARV, 2003.