Número racional (del latín ratio “razón, división, fracción”) es un número que se puede representar como una fracción ordinaria , donde es un número entero , y es un número natural [1] . Por ejemplo , donde , a . El concepto de fracción surgió hace varios miles de años, cuando, ante la necesidad de medir ciertas cantidades (longitud, peso, área, etc.), la gente se dio cuenta de que los números enteros no eran suficientes y fue necesario introducir el concepto de fracción: mitad, tercio, etc. Las fracciones y las operaciones sobre ellas fueron utilizadas, por ejemplo, por los sumerios , los antiguos egipcios y los griegos .
El conjunto de números racionales se denota (del latín cociente , "privado") y se puede escribir de esta forma:
Resulta que diferentes entradas pueden representar la misma fracción, por ejemplo, y , (todas las fracciones que se pueden obtener entre sí multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número natural representan el mismo número racional). Dado que al dividir el numerador y el denominador de una fracción por su máximo común divisor , se puede obtener la única representación irreducible de un número racional, se puede hablar de su conjunto como un conjunto de fracciones irreducibles con numerador entero coprimo y denominador natural:
Aquí está el máximo común divisor de números y .
El conjunto de los números racionales es una generalización natural del conjunto de los enteros . Es fácil ver que si un número racional tiene un denominador , entonces es un número entero.
El conjunto de números racionales es denso en todas partes en el eje numérico : entre dos números racionales diferentes hay al menos un número racional (y, por lo tanto, un conjunto infinito de números racionales). Sin embargo, resulta que el conjunto de los números racionales tiene una cardinalidad contable (es decir, todos sus elementos se pueden renumerar). Desde la época de los antiguos griegos , se sabe de la existencia de números que no se pueden representar como una fracción: probaron, en particular, que no es un número racional. La insuficiencia de los números racionales para expresar todas las cantidades condujo más tarde al concepto de número real . A diferencia del conjunto de los números reales (que corresponde a un espacio unidimensional ), el conjunto de los números racionales tiene medida cero .
Formalmente, los números racionales se definen como el conjunto de clases de equivalencia de pares con respecto a la relación de equivalencia si . En este caso, las operaciones de suma y multiplicación se definen de la siguiente manera:
Se puede ver de la definición que ninguna operación de suma o multiplicación conduce a la aparición de un par de la forma
Una fracción se dice correcta si el módulo del numerador es menor que el módulo del denominador. Las fracciones propias representan números racionales, módulo menor que uno . Una fracción que no es propia se llama fracción impropia y representa un número racional mayor o igual a uno en módulo.
Una fracción impropia se puede representar como la suma de un número entero y una fracción propia, llamada fracción mixta . Por ejemplo, . Una notación similar (con un signo de suma faltante), aunque se usa en aritmética elemental , se evita en la literatura matemática estricta debido a la similitud de la notación para una fracción mixta con la notación para el producto de un número entero por una fracción.
Altura de disparoLa altura de una fracción ordinaria es la suma del módulo del numerador y el denominador de esta fracción. La altura de un número racional es la suma del módulo del numerador y del denominador de la fracción ordinaria irreducible correspondiente a ese número [2] .
Por ejemplo, para encontrar la altura de una fracción , primero debes obtener una fracción irreducible de ella. Una fracción irreducible se verá así: . Luego necesitas sumar el módulo del numerador y el denominador: . Entonces la altura de la fracción es .
El término número fraccionario (fracción) a veces[ clarificar ] se usa como sinónimo del término número racional y, a veces, como sinónimo de cualquier número no entero. En este último caso, los números fraccionarios y racionales son cosas diferentes, ya que entonces los números racionales no enteros son solo un caso especial de los fraccionarios.
El conjunto de los números racionales satisface dieciséis propiedades básicas que se pueden obtener fácilmente a partir de las propiedades de los números enteros . [3]
Todas las demás propiedades inherentes a los números racionales no se señalan como básicas porque, en términos generales, ya no se basan directamente en las propiedades de los números enteros, sino que pueden demostrarse sobre la base de las propiedades básicas dadas o directamente mediante la definición de algún objeto matemático. Hay muchas de estas propiedades adicionales. Aquí tiene sentido citar sólo algunos de ellos.
Para estimar el número de números racionales, necesitas encontrar la cardinalidad de su conjunto. Es fácil demostrar que el conjunto de los números racionales es contable . Para ello, basta con dar un algoritmo que enumere los números racionales, es decir, establezca una biyección entre los conjuntos de números racionales y naturales. El siguiente algoritmo simple puede servir como ejemplo de tal construcción. Se compila una tabla infinita de fracciones ordinarias, en cada -ésima fila en cada -ésima columna de la que hay una fracción . Para mayor precisión, se supone que las filas y columnas de esta tabla están numeradas a partir de uno. Las celdas de la tabla se indican con , donde es el número de fila de la tabla en la que se encuentra la celda y es el número de columna.
La tabla resultante es gestionada por una "serpiente" según el siguiente algoritmo formal.
Estas reglas se buscan de arriba a abajo y la siguiente posición es seleccionada por la primera coincidencia.
En el proceso de tal derivación, cada nuevo número racional se asigna al siguiente número natural. Es decir, a las fracciones se les asigna el número 1, a las fracciones , el número 2, etc. Solo se numeran las fracciones irreducibles. El signo formal de irreductibilidad es la igualdad a la unidad del máximo común divisor del numerador y denominador de la fracción.
Siguiendo este algoritmo, uno puede enumerar todos los números racionales positivos. Esto significa que el conjunto de números racionales positivos es contable. Es fácil establecer una biyección entre los conjuntos de números racionales positivos y negativos asignando a cada número racional su opuesto. Así, el conjunto de los números racionales negativos también es contable. Su unión también es contable por la propiedad de los conjuntos contables. El conjunto de los números racionales también es contable como la unión de un conjunto numerable con uno finito.
Hay otras formas de enumerar números racionales. Por ejemplo, utilizando estructuras como el árbol de Culkin-Wilf , el árbol de Stern-Brokaw o la serie de Farey .
La afirmación sobre la contabilidad del conjunto de números racionales puede causar cierto desconcierto, ya que a primera vista parece que es mucho más grande que el conjunto de números naturales (después de todo, entre dos números naturales cualesquiera hay un conjunto infinito de números racionales ). De hecho, esto no es así, y hay suficientes números naturales para enumerar todos los racionales.
En geometría , una consecuencia del llamado axioma de Arquímedes (en un sentido más general que el mencionado anteriormente) es la posibilidad de construir cantidades arbitrariamente pequeñas (es decir, cortas) expresadas por números racionales de la forma . Este hecho crea la impresión engañosa de que los números racionales pueden medir cualquier distancia geométrica en general . Es fácil demostrar que esto no es cierto.
Se sabe por el teorema de Pitágoras que la hipotenusa de un triángulo rectángulo se expresa como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus catetos . Que. la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles de cateto unitario es igual a , es decir, un número cuyo cuadrado es 2.
Si suponemos que el número está representado por algún número racional, entonces existe tal número entero y tal número natural que , y la fracción es irreducible, es decir, los números y son coprimos .
Si , entonces , eso es . Por lo tanto, el número es par, pero el producto de dos números impares es impar, lo que significa que el número mismo también es par. Entonces, hay un número natural tal que el número se puede representar como . El cuadrado de un número en este sentido , pero por otro lado , significa o . Como se mostró anteriormente para el número , esto significa que el número es par, al igual que . Pero entonces no son coprimos ya que ambos son divisibles por 2 . La contradicción resultante prueba que no es un número racional.
De lo anterior se deduce que hay segmentos en el plano, y, por tanto, en la recta numérica , que no se pueden medir con números racionales. Esto lleva a la posibilidad de extender el concepto de números racionales a los números reales .
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