Endomorfismo de Frobenius

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El endomorfismo de Frobenius es un endomorfismo de un anillo conmutativo de característica prima , dado por la fórmula . En algunos casos, como el caso de un campo finito , un endomorfismo de Frobenius es un automorfismo , sin embargo, en general, este no es el caso. $pags$ $x\mapas a x^{p}$

Definición y propiedades básicas

Sea un anillo conmutativo de característica prima (en particular, cualquier anillo integral de característica distinta de cero es tal). El endomorfismo de Frobenius de un anillo se define mediante la fórmula . El endomorfismo de Frobenius es de hecho un homomorfismo de anillos , ya que (para probar la última identidad, basta escribir el lado izquierdo de acuerdo con la fórmula binomial de Newton y notar que todos los coeficientes binomiales excepto el primero y el último son divisibles por ). $R$ $pags$ $R$ $F(x)=x^{p}$ $(xy)^{p}=x^{p}y^{p},(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$ $pags$

Si es un homomorfismo arbitrario de anillos de característica prima , entonces , es decir: . $\varphi :R\to S$ $pags$ ${\ estilo de visualización \ varphi (x^{p}) = (\ varphi (x)) ^ {p))$ $\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi$

Esto significa que el endomorfismo de Frobenius es una transformación natural del funtor identidad (en la categoría de anillos conmutativos de característica ) en sí mismo. $pags$

Si el anillo no contiene nilpotentes no triviales , entonces el endomorfismo de Frobenius es inyectivo (ya que su núcleo es cero). Es fácil probar que lo contrario también es cierto: si es un nilpotente no trivial que se desvanece a partir del grado , entonces . Un endomorfismo de Frobenius no es necesariamente sobreyectivo , incluso si es un campo. Por ejemplo, sea el campo de funciones racionales con coeficientes en , entonces la función no se encuentra en la imagen del endomorfismo de Frobenius. $R$ $X$ $norte$ $(x^{{n-1}})^{p}=0$ $R$ $R={\mathbb F}_{p}(t)$ $\mathbb {F} _{p}$ $t$

Un campo se llama perfecto si su característica es cero, o si la característica es positiva y el endomorfismo de Frobenius es sobreyectivo (por lo tanto, es un automorfismo). En particular, todos los campos finitos son perfectos. $k$

Puntos fijos

Considere un campo finito . Según el pequeño teorema de Fermat , todos los elementos de este campo satisfacen la ecuación . Una ecuación de grado X no puede tener más raíces, por tanto, en cualquier extensión del campo, los puntos fijos del endomorfismo de Frobenius son exactamente los elementos del campo . Una afirmación similar es válida para anillos integrales de característica . $\mathbb {F} _{p}$ $x^{p}=x$ $pags$ $pags$ $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$ $pags$

Los grados de endomorfismo de Frobenius también satisfacen propiedades similares. Si es un campo finito, todos sus elementos satisfacen la ecuación , y en cualquier extensión de este campo, los elementos del campo original son puntos fijos del grado th del endomorfismo de Frobenius, es decir, puntos fijos de . ${\mathbb F}_{{p^{k))}$ $x^{{p^{k}}}=x$ $k$ $x\mapas a x^{{p^{k}}}$

Elemento generador del grupo Galois

El grupo de Galois de una extensión finita de un campo finito es cíclico y se genera por el grado del endomorfismo de Frobenius. Considere primero el caso cuando el campo de tierra es simple . Sea un campo finito, donde . Un endomorfismo de Frobenius conserva elementos de campo primo , por lo que es un elemento del grupo de Galois de la extensión . Resulta que este grupo es cíclico y lo genera . El orden de este grupo es , ya que el endomorfismo actúa de forma idéntica y las potencias más pequeñas no pueden actuar de forma idéntica. $\mathbb {F} _{q}$ $q=p^{n}$ $F$ $\mathbb {F} _{p}$ ${\displaystyle \mathbb {F}_{q}\supset \mathbb {F}_{p))$ $F$ $norte$ ${\displaystyle x\mapsto x^{q))$ $\mathbb {F} _{q}$

En la extensión, el campo de tierra está fijado por el grado th del endomorfismo de Frobenius, se genera el grupo de Galois de la extensión y tiene orden . $\mathbb {F}_{q^{k}}\supset \mathbb {F}_{q}$ $norte$ $F^{n}$ $k$

Endomorfismo de Frobenius para esquemas

Véase también

Raíz primitiva de la unidad

Literatura

Lidl R. Niederreiter G. Campos finitos. En 2 vols. — M .: Mir, 1998.
Automorfismo de Frobenius - Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . LV Kuzmin
Endomorfismos de Frobenius - artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . LV Kuzmin