Centralidad del nudo Kac

La centralidad del nodo Kac es una medida de la centralidad en una red . El concepto de centralidad fue introducido por Leo Katz en 1953; se ha utilizado para medir el grado relativo de influencia de un actor (o nodo) dentro de una red social [1] . A diferencia de las típicas medidas de centralidad, que consideran solo los caminos más cortos ( geodésicas ) entre un par de objetos activos, la centralidad de Katz mide el impacto teniendo en cuenta el número total de rutas entre un par de objetos activos [2] .

El indicador es similar al ranking de enlaces PageRank de Google y el grado de influencia [3] .

Dimensión

La centralidad de Katz calcula la influencia relativa de un nodo en una red midiendo el número de vecinos más cercanos (nodos de primer grado) así como todos los demás nodos en la red que están conectados a través de esos vecinos más cercanos. A cualquier ruta o enlace entre un par de nodos se le asigna un peso definido por el valor y la distancia entre los nodos como . En este caso, el peso de las conexiones con vecinos remotos se reduce por un factor [4] . $\alfa$ ${\ estilo de visualización \ alfa ^ {d}}$ $\alfa$

Por ejemplo, en la figura de la derecha, imagina que se está midiendo la centralidad de "Juan" y que . El peso asignado a cada vínculo que conecta a "John" con sus vecinos inmediatos "Jane" y "Bob" será . Dado que "José" está conectado a "Juan" indirectamente a través de "Bob", el peso asignado a esta conexión (que consta de dos enlaces) será . De igual forma, el peso asignado al enlace entre "Agneta" y "John" vía "Aziz" y "Jane" será , y el peso asignado al enlace entre "Agneta" y "John" vía "Diego )”, “Jose ” y “Bob”, será igual a . ${\ estilo de visualización \ alfa = 0,5}$ ${\ estilo de visualización (0,5) ^ {1} = 0,5}$ ${\ estilo de visualización (0,5) ^ {2} = 0,25}$ ${\ estilo de visualización (0,5) ^ {3} = 0,125}$ ${\ estilo de visualización (0,5) ^ {4} = 0,0625}$

Formulación matemática

Sea A la matriz de adyacencia de la red considerada. Los elementos de la matriz A son variables que toman el valor 1 si el nodo i está conectado al nodo j , y el valor 0 en caso contrario. Los grados de la matriz A muestran la presencia (o ausencia) de enlaces entre dos nodos a través de intermediarios. Por ejemplo, en la matriz , si el elemento es , entonces esto significa que los nodos 2 y 12 están conectados por algún camino de longitud 3. Si denota la centralidad Kac del nodo i , entonces matemáticamente $(a_{ij})$ ${\ estilo de visualización A^{3}}$ ${\ estilo de visualización (a_ {2,12}) = 1}$ $C_{\mathrm {Katz} }(yo)$

C_{\mathrm {Katz} }(i)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=1}^{n}\alpha ^{k}(A^{ k})_{ji}~.

Tenga en cuenta que la definición anterior utiliza el hecho de que el elemento en la posición de la matriz refleja el número total de uniones de grado entre los nodos y . El valor del factor de amortiguamiento debe elegirse de modo que sea menor que el recíproco del valor absoluto del valor propio más grande de la matriz A [5] . En este caso, se puede utilizar la siguiente expresión para calcular la centralidad de Kac: $(yo, j)$ $A^{k}$ $k$ $i$ $j$ $\alfa$

{\overrightarrow {C}}_{\mathrm {Katz} }=((E-\alpha A^{T})^{-1}-E){\overrightarrow {I}}~,

dónde:

$mi$ es la matriz identidad;

${\overrightarrow {yo}}$ es un vector de tamaño n ( n es igual al número de nodos) que consta de unos;

$A^{T}$ es la matriz transpuesta de la matriz A;

$(E-\alfa A^{T})^{-1}$ es la matriz invertible de la matriz [5] . $(E-\alfa A^{T})$

Una extensión de este concepto permite calcular rutas en condiciones dinámicas [6] [7] . La dirección del tiempo se conserva de manera que la contribución es asimétrica en la dirección de propagación de la información.

Las redes dan datos de la forma:

\left\{A^{[k]}\in \mathbb {R} ^{N\times N}\right\}\qquad

por

\quad k=0,1,2,\ldots,M~,

representando la matriz de adyacencia en cada momento . Como consecuencia, $gracias$

$\left(A^{[k]}\right)_{ij}=1$ si hay un borde de nodo a nodo en el momento y 0 en caso contrario. $i$ $j$ $gracias$

Los tiempos están ordenados, pero no necesariamente distribuidos uniformemente. para cada uno hay un recuento ponderado del número de rutas dinámicas de longitud de nodo a nodo . Tipo de comunicación dinámica entre nodos: ${\displaystyle t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{M))$ $Q\en \mathbb {R} ^{N\times N}$ ${\ estilo de visualización (Q) _ {ij})$ $w$ $i$ $j$

{\mathcal {Q}}=\left(E-\alpha A^{[0]}\right)^{-1}\cdots \left(E-\alpha A^{[M]}\ derecha)^{-1}~.

En forma normalizada:

{\hat {\mathcal {Q}}}^{[k]}={\frac ({\hat {\mathcal {Q}}}^{[k-1]}\left(E-\ alfa A^{[k]}\right)^{-1}}{\left\|{\hat {\mathcal {Q}}}^{[k-1]}\left(E-\alpha A^ {[k]}\derecho)^{-1}\derecho\|}}~.

Por lo tanto, la centralidad muestra cuán eficientemente un nodo puede "enviar" y "recibir" mensajes dinámicos a través de la red: $norte$

C_{n}^{\mathrm {emisión} }:=\sum _{k=1}^{N}{\mathcal {Q}}_{nk}\quad

\quad C_{n}^{\mathrm {recibir} }:=\sum _{k=1}^{N}{\mathcal {Q}}_{kn}~.

Aplicaciones

La centralidad de Katz se puede utilizar para calcular la centralidad en redes dirigidas, como las redes de cotización y la World Wide Web [8] . Es más útil en el análisis de gráficos acíclicos dirigidos, en los que las medidas utilizadas tradicionalmente, como el grado de influencia , pierden sentido [8] .

La centralidad de Katz también se puede utilizar para evaluar el estado relativo o la influencia de los objetos en una red social. Un artículo de Laughlin et al [9] demuestra el análisis de aplicar la versión dinámica de la centralidad de Katz a los datos de Twitter, identificando objetos que tienen el estatus de líderes de discusión estables. La aplicación del concepto de centralidad de Katz permite comparar metodologías que involucran a expertos humanos y evaluar la concordancia de sus resultados con un panel de expertos en redes sociales.

En las neurociencias , se ha encontrado que la centralidad de Kac se correlaciona con la tasa de activación relativa de las neuronas en una red neuronal [10] . La expansión temporal de centralidad de Katz se ha aplicado a datos de IRMf obtenidos de experimentos de aprendizaje musical [11] en los que los datos se recopilan antes y después del proceso de aprendizaje. Los resultados mostraron que los cambios en la estructura de la red crearon en cada sesión conexiones cuantitativas que forman clusters en la llamada línea del aprendizaje exitoso.

Notas

↑ Katz, 1953 , pág. 39–43.
↑ Hanneman, Riddle, 2005 .
↑ Vigna, 2016 , pág. 433-445.
↑ Aggarwal, 2011 .
↑ 12 Junker , Schreiber, 2008 .
↑ Grindrod, Parsons, Higham, Estrada, 2011 .
↑ Grindrod, Higham, 2010 , pág. 753–770.
↑ 12 Newman , 2010 .
↑ Laflin, Mantzaris y otros, 2013 .
↑ Fletcher y Wennekers 2017 , pág. 1750013.
↑ Mantzaris, Bassett et al., 2013 , pág. 83–92.

Literatura

Katz L. Un nuevo índice de estatus derivado del índice sociométrico // Psicometría. — 1953.
Hanneman RA, Riddle M. Introducción a los métodos de redes sociales. — Riverside, CA: Universidad de California, Riverside, 2005.
Análisis de datos de redes sociales Aggarwal CC . — Nueva York, NY: Springer, 2011.
Junker BH, Schreiber F. Análisis de redes biológicas. - Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, 2008. - ISBN 978-0-470-04144-4 .
Redes Newman MEJ : una introducción. — Oxford, Reino Unido: Oxford University Press, 2010.
Vigna S. Clasificación espectral // Ciencia de redes. - 2016. - Vol. 4 , núm. 4 . -doi : 10.1017/ nws.2016.21 .
Alexander V. Mantzaris, Danielle S. Bassett, Nicholas F. Wymbs, Ernesto Estrada, Mason A. Porter, Peter J. Mucha, Scott T. Grafton, Desmond J. Higham. La centralidad de la red dinámica resume el aprendizaje en el cerebro humano // Journal of Complex Networks. - 2013. - Vol. 1 , número. 1 .
Peter Grindrod, Desmond J. Higham. Grafos evolutivos: Modelos dinámicos, problemas inversos y propagación // Proc. Roy. soc. A.- 2010.- T. 466 .
Peter Grindrod, Mark C. Parsons, Desmond J. Higham, Ernesto Estrada. Comunicabilidad a través de redes en evolución // Revisión física E. - APS, 2011. - T. 83 .
Peter Laflin, Alexander V. Mantzaris, Fiona Ainley, Amanda Otley, Peter Grindrod, Desmond J. Higham. Descubriendo y validando la influencia en una red social en línea dinámica // Análisis y Minería de Redes Sociales. - Springer, 2013. - V. 3 , No. 4 .
Jack Mc Kay Fletcher, Thomas Wennekers. De la estructura a la actividad: uso de medidas de centralidad para predecir la actividad neuronal // Revista internacional de sistemas neuronales. - 2017. - T. 0 , N º 0 . -doi : 10.1142/ S0129065717500137 .