Cadena de Toda

La cadena de Toda es un sistema de ecuaciones no lineales discretas que describen la dinámica de osciladores no lineales interconectados . Es de gran importancia en la teoría de vibraciones de redes cristalinas .

El sistema en el caso general tiene la forma [1] :

m{\ddot {r}}_{n}=2f(r_{n})-f(r_{n+1})-f(r_{n-1})

donde tiene el significado de la desviación del oscilador n-ésimo de la posición de equilibrio, y es una función no lineal que tiene el significado de la fuerza restauradora que actúa sobre el oscilador i-ésimo. Los puntos significan tomar la operación de diferenciación . ${\ estilo de visualización r_ {n} (t)}$ ${\ Displaystyle f (r_ {i})}$

Propuesto y analizado por primera vez para el caso por Morikazu Toda en 1967 [2] [3] . $f(t)=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$

Forma equivalente

Es conveniente analizar la ecuación en cadena de Toda en la forma equivalente de la siguiente forma

{\dot {s}}_{n}=f(r_{n})

m{\dot {r}}_{n}=2s_{n}-s_{n+1}-s_{n-1}

Decisiones

Se puede demostrar que las ecuaciones que describen la dinámica de la cadena de Toda tienen soluciones en forma de ondas viajeras estacionarias , que tienen la forma

s_{n}=S(\theta )=S(\omega t-pn)

donde la función en case , satisface la ecuación ${\ estilo de visualización S (\ theta)}$ $f(r_{i})=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$

{\frac {m\omega ^{2}}{\beta }}{\frac {S''}{\alpha +\omega S'}}=S(\theta +p)+S(\ theta-p)-S(\theta)

La solución a esta ecuación se expresa en términos de las funciones elípticas de Jacobi :

{\ estilo de visualización S (\ theta) = bZ (2K \ theta)}

dónde

Z(\theta )=E(\theta )-\theta {\frac {E(K)}{K))

es la función zeta de Jacobi con período 2 K

E(\zeta )=\int \limits _{0}^{\zeta }\mathrm {dn} ^{2}zdz

Aquí K es una integral elíptica completa de primera clase. La conexión entre los coeficientes b y con los parámetros , y m es bastante complicada, pero se simplifica en casos límite. $\omega$ $\alfa$ $\beta$

La función se encuentra a partir de la relación $r_{n}$

-\alpha \left(1-e^{-\beta r_{n}}\right)={\dot {s}}_{n}=2K\omega b\left(\mathrm {dn} ^{2}2K\theta -{\frac {E}{K}}\right)

Una solución especial es la solución localizada solitaria del tipo solitón . Se puede obtener en el límite , con el cumplimiento simultáneo de las condiciones: $K\a\infty$

2K\omega \to \Omega

2Kp\to P

En este caso, las funciones elípticas se vuelven hiperbólicas y la solución toma la forma

-\alpha \left(1-\beta e^{-r_{n}}\right)={\frac {m\Omega ^{2}}{\beta \cosh ^{2}\left[ \Omega t-Pn\right]}}

M. Toda demostró en sus trabajos que estos solitones no cambian su forma original después de interactuar entre sí. Cualquier distribución inicial en el proceso de evolución se divide en muchos solitones. La solución exacta de este problema se obtuvo por el método de dispersión inversa [4] [5] .

Notas

↑ J. Whitham. Ondas lineales y no lineales . - Mir, 1977. - S. 554. - 622 p.
↑ Morikazu Toda. Vibración de una cadena con interacción no lineal // J. Phys . soc. Jpn. . - 1967. - vol. 22 . — Pág. 431-436 .
↑ Morikazu Toda. Propagación de ondas en redes anarmónicas // J. Phys . soc. Jpn. . - 1967. - vol. 23 . — pág. 501-506 .
↑ S. V. Manakov. Sobre integrabilidad completa y estocastización en sistemas dinámicos discretos // ZhETF . - 1974. - T. 67 , N º 2 . - S. 543-555 .
↑ H. Flashka. Sobre la celosía de Toda II (inglés) // Progr. teor. física . - 1974. - vol. 51 . - Pág. 703-716 .

Literatura

Morikazu Toda. Estudios de una red no lineal (inglés) // Physics Reports . - 1975. - vol. 18 , edición. 1 . - Pág. 1-123 .
J.Whitham. Ondas lineales y no lineales . - Mir, 1977. - S. 584-588. — 622 págs.