Número de Lefschetz

Número de Lefschetz
Lleva el nombre de	Salomón Lefschetz
quien probo	Salomón Lefschetz

El número de Lefschetz es un cierto número entero característico del mapeo de un espacio topológico en sí mismo.

Definición

Sea un espacio topológico, sea un mapa continuo y sean grupos de homología con coeficientes en el campo . Sea la traza de una transformación lineal $X$ $f:X\a X$ $H_{*}(X,k)$ $X$ $k$ $Tennesse}$

f_{*}:H_{n}(X,k)\a H_{n}(X,k)

Por definición, el número de Lefschetz de una aplicación es $F$

{\displaystyle \Lambda (f,X)=\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t_{n))

Propiedades

El número de Lefschetz se define si el rango total de los grupos es finito, y en este caso no depende de la elección de . $H_{*}(X,k)$ $k$

El número de Lefschetz del mapeo de identidad es igual a la característica de Euler . $X$

Fórmula de Lefschetz

Sea una variedad topológica compacta -dimensional conectada orientable o un complejo de celdas finitas -dimensionales , sea un mapeo continuo. $X$ $norte$ $norte$ $f:X\a X$

Suponga que todos los puntos fijos del mapa están aislados. $f:X\a X$

Para cada punto fijo , lo denotamos por su índice de Kronecker (el grado local del mapeo en la vecindad del punto ). Entonces la fórmula de Lefschetz para y tiene la forma $x\en X$ $yo(x)$ $F$ $X$ $X$ $F$

\sum _{{\{x|f(x)=x\}}}i(x)=\Lambda (f,X).

En particular, si un mapeo de un complejo de celdas finitas no tiene puntos fijos, entonces su número de Lefschetz es igual a cero.

Historia

Esta fórmula fue establecida por primera vez por Lefschetz para variedades topológicas orientables de dimensión finita y luego para complejos de celdas finitas. Estos artículos de Lefschetz fueron precedidos por el artículo de Brouwer de 1911 sobre el punto fijo de un mapeo continuo de una esfera bidimensional en sí misma. $norte$

Notas

En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4501113-8