Grado de visualización

El grado de una aplicación es una homotopía invariante de una aplicación continua entre variedades compactas de igual dimensión.

En el caso más simple, para el mapeo de un círculo a otro, el grado de mapeo se puede definir como el número de revoluciones del punto por el que pasa el círculo. $\varphi \colon \mathbb {S} ^{1}\to \mathbb {S} ^{1}$ $\varfi(x)$ $X$

Definiciones

Homólogo

Sean X e Y variedades orientables , conexas y cerradas de igual dimensión. Entonces el grado de un mapeo continuo se define como un número entero tal que $f\dos puntos X\a Y$ ${\ estilo de visualización \ grado (f)}$

f_{*}([X])=\grados(f)[Y].

donde denota el homomorfismo inducido entre los anillos de homología y denota la clase fundamental de la variedad . $F_{*}$ $[X]$ $X$

Contando orientaciones

Considere un mapeo uniforme de variedades uniformes orientadas, compactas y bidimensionales . $norte$ $\varphi: M_1^n\a M_2^n$

Un punto desde se llama regular si tiene un número finito de preimágenes y en cada una de sus preimágenes el mapeo no es degenerado (es decir, el diferencial del mapeo en cada una de las preimágenes no es degenerado). Según el lema de Sard , casi todos los puntos son valores regulares . $M_2^n$ $\varphi$ $M_2^n$ $\varphi$

Asignemos a cada preimagen de un punto regular el número , si el mapeo en este punto conserva la orientación y en caso contrario. Entonces, la suma de los números de todas las preimágenes de un punto regular se denomina grado de mapeo . $+1$ $\varphi$ $-una$

Aplicando el lema de Sard, podemos demostrar que el grado de aplicación no depende de la elección de un punto regular. Por lo tanto, esta definición es correcta.

Propiedades

El grado de un mapeo no cambia cuando el mapeo es homotópico (cambio continuo) y, por lo tanto, es una homotopía invariante del mapeo.