Flujo electrico

El flujo eléctrico es el flujo del vector de fuerza de campo eléctrico ( ) o inducción eléctrica ( ) a través de alguna superficie . Se calcula como una integral sobre esta superficie: ${\ estilo de visualización \ mathbf {E}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {D}}$ $S$

\Phi =\int _{S}{\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}\quad

o .

\quad \Psi =\int _{S}{\vec {D}}\cdot d{\vec {S}}

En la práctica, se utilizan ambos valores. Dependiendo de lo que se signifique en un contexto particular, la dimensión del flujo eléctrico es voltios por metro (V m, para ) o pendiente (C, para ). Para evitar confusiones, se puede agregar un símbolo explicativo a la designación del flujo: , . $\cdot$ $\Fi$ $\psi$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {E}}$ ${\ estilo de visualización \ Psi _ {D}}$

Una de las fórmulas más significativas en las que aparece el flujo eléctrico ( ) es la ecuación electrostática de Maxwell (en forma integral). ${\ estilo de visualización \ Psi _ {D}}$

Caso general

En el caso general, el flujo eléctrico se calcula como una integral de superficie , en la que el integrando es un flujo elemental (por ejemplo , , ), es decir, el producto escalar del vector en un punto dado y un pequeño elemento vectorial del sitio. : ${\ estilo de visualización d \ Phi _ {E}}$ ${\ vec {E}}$

d\Phi_{E}=\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S}

El elemento se escribe como el producto del área del área dada por el vector unitario de su normal , por lo que la expresión para el flujo elemental toma la forma $d\mathbf {S}$ $dS$ $d\mathbf {S} =dS\,\mathbf {n}$

{\mathit {d}}\Phi_{E}=\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=E\,dS\,\cos \theta

donde denota el ángulo entre los vectores y . A continuación, se lleva a cabo la integración numérica, de hecho, la suma sobre áreas elementales del área: $\ theta$ ${\ vec {E}}$ ${\vec{n}}$

{\ Displaystyle \ Phi _ {E} = \ int _ {S} {\ mathit {d}} \ Phi _ {E}}

Al calcular , se realizan acciones similares, solo con el vector . En el caso general, no existe una relación simple entre y , o entre y . ${\ estilo de visualización d \ Psi _ {D}}$ ${\vec{D}}$ ${\ estilo de visualización d \ Psi _ {D}}$ ${\ estilo de visualización d \ Phi _ {E}}$ ${\ estilo de visualización \ Psi _ {D}}$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {E}}$

El caso de un campo homogéneo

Si el campo eléctrico es homogéneo cerca de la superficie , se elimina del signo integral durante la integración y el flujo eléctrico se determina mediante la fórmula $S$

\Phi _{E}=E\cdot \int _{S}\cos \theta \,dS

y si la superficie sigue siendo plana, entonces por la fórmula

\Phi _{E}=E\,S\,\cos \theta

Si el campo es homogéneo , es posible una simplificación similar para . Al mismo tiempo, la homogeneidad no siempre significa homogeneidad , y viceversa. ${\vec{D}}$ ${\ estilo de visualización \ Psi _ {D}}$ ${\ vec {E}}$ ${\vec{D}}$

El caso de los campos débiles

En una situación con campos eléctricos débiles [1] , la ausencia de anisotropía y dispersión , los vectores de inducción eléctrica y fuerza de campo eléctrico están relacionados por la fórmula:

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\varepsilon \,\mathbf {E}

donde es la constante dieléctrica, y es la permitividad del medio, en términos generales, dependiendo de las coordenadas. $\varepsilon_{0}$ $\varepsilon$

En este caso, para flujos elementales y existe una relación simple: ${\ estilo de visualización d \ Psi _ {D}}$ ${\ estilo de visualización d \ Phi _ {E}}$

{\ Displaystyle d \ Psi _ {D} = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon \, d \ Phi _ {E}}

Si, además, el dieléctrico es homogéneo ( const), entonces los flujos totales también están conectados por una constante: ${\ estilo de visualización \ varepsilon = \,}$

{\ estilo de visualización \ Psi _ {D} = \ varepsilon _ {0} \ varepsilon \, \ Phi _ {E}}

Para vacío ( ), las relaciones escritas aquí son verdaderas para cualquier campo. $\varepsilon=1$

Teorema de Gauss y flujo

Según el teorema de Gauss , el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la suma de todas las cargas dentro de esta superficie . La expresión del teorema se puede escribir para la corriente tanto , como : $S$ ${\ vec {E}}$ ${\vec{D}}$

\Phi_{\mathbf {E} }=\oint_{S}\mathbf {E} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =\varepsilon_{0}^{-1}Q_ {nene}

\Psi_{\mathbf {D} }=\oint_{S}\mathbf {D} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =Q

pero el significado del concepto "todos los cargos" es diferente. En el caso, en general, se entiende que todas las cargas ( ) son libres y unidas (que surgen durante la polarización del dieléctrico ), y en el caso , solo libres ( ). ${\ vec {E}}$ $Q_{total}$ ${\vec{D}}$ $q$

El teorema de Gauss para la inducción eléctrica se ha convertido en una de las ecuaciones de Maxwell , en la que la carga suele sustituirse por su notación en términos de densidad de carga (libre) :

\oint _{S}\mathbf {D} \,\mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\rho \,dV

donde el lado derecho asume la integración sobre el volumen encerrado dentro de la superficie . $S$

Véase también

flujo magnético

Literatura

Yavorsky B.M., Detlaf A.A., Milkovskaya L.B. Curso de física. T.2. Electricidad y magnetismo. 3ra ed., M: Higher School, 1968.-412s.

Notas

↑ 1. Los campos se consideran débiles si el desplazamiento de las cargas ligadas y, por lo tanto, la polarización causada por ellas, depende linealmente del campo dado.