Teorema de Gauss

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El teorema de Gauss ( ley de Gauss ) es una de las leyes básicas de la electrodinámica y está incluido en el sistema de ecuaciones de Maxwell . Expresa la conexión (es decir, la igualdad hasta un coeficiente constante) entre el flujo de intensidad de campo eléctrico a través de una superficie cerrada de forma arbitraria y la suma algebraica de cargas ubicadas dentro del volumen delimitado por esta superficie. Se utiliza solo para calcular campos electrostáticos.

Un teorema similar, también una de las ecuaciones de Maxwell, también existe para un campo magnético ( ver más abajo ).

Además, el teorema de Gauss es válido para cualquier campo en el que el principio de superposición y la ley de Coulomb o su análogo sean válidos (por ejemplo, para la gravedad newtoniana). Al mismo tiempo, se considera más fundamental que la ley de Coulomb, ya que permite, en particular, derivar el grado de distancia [1] en la ley de Coulomb “a partir de primeros principios”, y no postularla (o no encontrarlo empíricamente).

Esto puede verse como el significado fundamental del teorema de Gauss (ley de Gauss) en la física teórica.

Hay analogías (generalizaciones) del teorema de Gauss para teorías de campo más complejas que la electrodinámica.

Teorema de Gauss para la fuerza de un campo eléctrico en el vacío

Formulación general : El flujo del vector de intensidad de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada elegida arbitrariamente es proporcional a la carga eléctrica encerrada dentro de esta superficie .

SGA	SI
$\Phi _{{\mathbf {E}}}=4\pi Q,$	$\Phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}},$

dónde

$\Phi _{{\mathbf {E}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {E}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}$ es el flujo del vector de intensidad de campo eléctrico a través de una superficie cerrada . $S$
$q$ es la carga total contenida en el volumen que limita la superficie . $S$
$\varepsilon_{0}$ es la constante eléctrica .

Esta expresión es el teorema de Gauss en forma integral.

Observación : El flujo del vector de tensión a través de la superficie no depende de la distribución de carga (disposición de cargas) dentro de la superficie.

En forma diferencial, el teorema de Gauss se expresa de la siguiente manera:

SGA	SI
${\mathrm {div}}\,{\mathbf {E}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {E}}=4\pi \rho ,$	${\mathrm {div}}\,{\mathbf {E}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {E}}={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

Aquí , es la densidad de carga de volumen (en el caso de la presencia de un medio, la densidad total de cargas libres y ligadas), y es el operador nabla . $\rho$ $\nabla$

El teorema de Gauss se puede demostrar como un teorema en electrostática a partir de la ley de Coulomb y el principio de superposición ( ver más abajo ). La fórmula, sin embargo, también es cierta en electrodinámica, aunque en ella la mayoría de las veces no actúa como un teorema probado, sino como una ecuación postulada (en este sentido y contexto es más lógico llamarla ley de Gauss [2] ).

En el espacio-tiempo curvo, el flujo de un campo electromagnético a través de una superficie cerrada se expresa como , donde es la velocidad de la luz ; denota los componentes de tiempo del tensor de campo electromagnético ; es el determinante del tensor métrico ; es un elemento ortonormal de la superficie bidimensional que rodea la carga ; índices y no coinciden entre sí. [3] $\Phi _{\mathbf {E} }=c\oint \limits _{S}F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\mathrm {d} S_{\kappa }$ $C$ $F^{\kappa 0}$ $gramo$ ${\displaystyle \mathrm {d} S_{\kappa }=\mathrm {d} S^{ij}=\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j))$ $q$ $i,j,\kappa =1,2,3$

Teorema de Gauss para la inducción eléctrica (desplazamiento eléctrico)

Para un campo en un medio dieléctrico, el teorema electrostático de Gauss se puede escribir de otra manera (de manera alternativa): a través del flujo del vector de desplazamiento eléctrico (inducción eléctrica). En este caso, la formulación del teorema es la siguiente: el flujo del vector desplazamiento eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica libre dentro de esta superficie:

SGA	SI
$\Phi _{{\mathbf {D}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {D}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=4\pi Q ,$	$\Phi _{{\mathbf {D}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {D}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=Q,$

comentario importante

Q en el lado derecho de esta ecuación no es lo mismo que en la formulación fundamental dada arriba [4] al comienzo del artículo. Este último a menudo se denomina "formulación para el vacío", pero este nombre es puramente convencional, es igualmente aplicable al caso de un medio dieléctrico, solo por Q aquí es necesario entender la suma de la carga libre dentro de la superficie. y la carga de polarización (inducida, ligada) del dieléctrico, es decir, en la ecuación para E habría que escribir otra letra en el lado derecho: $\Phi _{{\mathbf {E}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {E}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=4\pi Q ,$

Q_{\Sigma}=Q+Q_{b},

dónde

$Q_{b}=\punto \límites _{S}{\mathbf {P}}\,{\mathrm {d}}{\mathbf {S}}$ - carga ligada dentro de la superficie [5] ,
${\ matemáticas {P}}$ es el vector de polarización dieléctrica .

Hemos usado la misma letra en el lado derecho aquí, simplemente porque tal notación es la más común y dado que ambas formas de la ecuación rara vez se usan juntas, por lo que no hay confusión.

Para el caso del vacío (ausencia de un medio dieléctrico), ambas ecuaciones simplemente coinciden, ya que entonces Q b \u003d 0, mientras que D \ u003d E (en el sistema de unidades SI - son proporcionales).

En forma diferencial:

SGA	SI
${\mathrm {div}}\,{\mathbf {D}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {D}}=4\pi \rho ,$	${\mathrm {div}}\,{\mathbf {D}}\equiv \nabla \cdot {\mathbf {D}}=\rho .$

comentario importante

Es importante entender que Q y ρ en este párrafo denotan otras cantidades que en el anterior: la magnitud de las cargas libres y la densidad de las cargas libres , es decir, cargas con excepción de las inducidas durante la polarización del medio dieléctrico ( mientras que en el párrafo anterior, la carga total y la carga de densidad total (para más detalles, ver el comentario en este párrafo un poco más arriba). Estos valores coinciden solo para el caso de vacío (ausencia de un medio dieléctrico), cuando el Las mismas ecuaciones de este párrafo se convierten esencialmente en las ecuaciones del párrafo anterior.

Teorema de Gauss para la inducción magnética

El flujo del vector de inducción magnética a través de cualquier superficie cerrada es cero:

\Phi _{{\mathbf {B}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=0,

o en forma diferencial

\nabla \cdot {\mathbf {B}}=0.

Esto es equivalente al hecho de que en la naturaleza no hay "cargas magnéticas" ( monopolos ) que puedan crear un campo magnético, así como las cargas eléctricas crean un campo eléctrico [6] . En otras palabras, el teorema de Gauss para la inducción magnética muestra que el campo magnético es (totalmente) un vórtice .

Teorema de Gauss para la gravedad newtoniana

Para la fuerza del campo de la gravedad newtoniana (aceleración de la caída libre), el teorema de Gauss prácticamente coincide con el de la electrostática, excepto por las constantes (sin embargo, todavía dependen de una elección arbitraria del sistema de unidades) y, lo más importante, el signo [7] :

\Phi _{{\mathbf {g}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {g}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=-4\pi gm,

\nabla \cdot {\mathbf {g}}=-4\pi G\rho ,

donde g es la fuerza del campo gravitatorio, M es la carga gravitatoria (es decir, la masa) dentro de la superficie S , ρ es la densidad de masa, G es la constante newtoniana .

Interpretaciones

En términos de líneas de fuerza

El teorema de Gauss se puede interpretar en términos de líneas de campo [8] del campo de la siguiente manera:

El flujo de un campo a través de una superficie es [9] el número de líneas de fuerza que penetran en esta superficie. En este caso, se tiene en cuenta la dirección: las líneas de fuerza que penetran en la superficie en la dirección opuesta se consideran con un signo menos.
Las líneas de campo comienzan o terminan solo en las cargas (comienzan en las cargas positivas y terminan en las negativas), o aún pueden llegar al infinito. El número de líneas de fuerza que emanan de la carga (comenzando en ella) es igual a [10] el valor de esta carga (esta es la definición de carga en este modelo). Para las cargas negativas, todo es igual, solo la carga es igual a menos el número de líneas que entran (que terminan en ella).
Con base en estas dos disposiciones, el teorema de Gauss parece obvio en la formulación: el número de líneas que emanan de una superficie cerrada es igual al número total de cargas en su interior, es decir, el número de líneas que aparecieron en su interior . Por supuesto, se tienen en cuenta los signos, en particular, una línea que comienza dentro de la superficie con una carga positiva puede terminar con una carga negativa también dentro de ella (si la hay), entonces no contribuirá al flujo a través de esta superficie. , ya que o incluso antes no llega, o sale, y luego vuelve a entrar (o, en general, cruza la superficie un número par de veces igualmente en la dirección delantera y en la opuesta), que, al sumarse teniendo en cuenta el signo, dará una contribución cero al flujo. Lo mismo puede decirse de las líneas que comienzan y terminan fuera de una superficie dada; por la misma razón, también contribuirán con cero al flujo a través de ella.

En términos del flujo de un fluido incompresible

El teorema de Gauss es cierto para el campo de velocidad de un fluido incompresible. Este hecho nos permite utilizar como analogía (modelo formal) el flujo de un fluido incompresible, lo que permite aclarar su significado y visualizar su contenido matemático. [once]

Incluso la misma terminología del análisis vectorial utilizada en electrodinámica (y en particular en la formulación del teorema de Gauss) se formó casi en su totalidad bajo la influencia de esta analogía. Basta con señalar términos tales como la fuente del campo (en relación con la carga) o el flujo a través de la superficie, que corresponden total y exactamente en la analogía considerada a los conceptos:

la fuente del líquido (en el sentido del lugar donde se produce el líquido y la medida cuantitativa de su aparición - el volumen que se produce por unidad de tiempo),
flujo (en el sentido de la cantidad de líquido que pasa a través de la superficie por unidad de tiempo).

En términos del flujo de un fluido incompresible, el teorema de Gauss se formula de la siguiente manera: El flujo de fluido que emana de una superficie cerrada es igual a la suma de las fuentes dentro de esta superficie . O, más formalmente: el flujo del vector de velocidad del fluido a través de una superficie cerrada es igual a la suma de las fuentes dentro de esta superficie . (En esencia, esta es una versión integral de la ecuación de continuidad para un fluido incompresible, expresando la conservación de la masa del fluido, teniendo en cuenta la constancia de su densidad).

En esta analogía formal, la intensidad del campo se reemplaza por la tasa de flujo del fluido y la carga se reemplaza por la fuente del fluido (la carga negativa se reemplaza por una "fuente negativa" - "drenaje").

Teorema de Gauss como definición de carga

El teorema de Gauss [12] puede considerarse como una definición de la carga (magnitud).

Entonces, para una carga puntual, es obvio que el flujo de la intensidad del campo a través de cualquier superficie es igual al flujo a través de una esfera pequeña (infinitamente pequeña) que rodea esta carga. Entonces este último (hasta quizás un factor constante, dependiendo de nuestra elección arbitraria de unidades) puede elegirse como la definición de la magnitud de esta carga.

Cerca de la carga (infinitamente cerca de ella), su propio campo obviamente hace una contribución abrumadora al flujo a través de una esfera infinitamente pequeña (porque el campo aumenta indefinidamente al disminuir la distancia). Esto significa que los campos restantes (generados por otras cargas) pueden despreciarse. Entonces se puede ver que esta definición concuerda con la habitual (a través de la ley de Coulomb).

En la física moderna, generalmente se supone que la definición a través de la ley de Gauss es más fundamental (así como la ley de Gauss en sí misma en comparación con la ley de Coulomb, ver más abajo).

Teorema de Gauss y ley de Coulomb

El teorema de Gauss y la ley de Coulomb están estrechamente relacionados, tanto formal como físicamente. Hay una declaración simplificada de que el teorema de Gauss es una formulación integral de la ley de Coulomb, o viceversa, que la ley de Coulomb es una consecuencia del teorema (ley) de Gauss.

De hecho, la ley de Gauss no se puede deducir solo de la ley de Coulomb, ya que la ley de Coulomb da solo el campo de una carga puntual. Para probar el teorema de Gauss, no solo se necesita la ley de Coulomb, sino también el principio de superposición [13] .

La ley de Coulomb no puede derivarse únicamente de la ley de Gauss, ya que la ley de Gauss no contiene información sobre la simetría del campo eléctrico [14] . Para probar la ley de Coulomb, no solo se necesita la ley de Gauss, sino también una declaración adicional (por ejemplo, sobre la simetría esférica del campo, o sobre la igualdad del rotacional del campo a cero).

Cuál de ellos se considera un postulado y cuál una consecuencia depende de qué axiomatización para la electrodinámica (o electrostática, si nos restringimos a ella) elijamos; formalmente, una u otra elección es prácticamente igual [15] , y en el caso de la electrostática, esto es completamente cierto. Así, la elección de uno u otro como base para construir una teoría es una cuestión de nuestra elección arbitraria.

Sin embargo, la axiomatización gaussiana tiene la ventaja de que la ley gaussiana no contiene parámetros arbitrarios (como el grado de distancia −2 en la ley de Coulomb), el grado de distancia en la ley de Coulomb surge automáticamente de la dimensión del espacio.

Sin embargo, se debe hacer una advertencia. Si es ingenuo suponer que la ley de Coulomb y el teorema de Gauss son equivalentes, entonces podemos argumentar de la siguiente manera: la ley de Coulomb se deriva del teorema de Gauss, las ecuaciones de Maxwell para el caso de la electrostática se derivan de la ley de Coulomb, es decir La segunda ecuación de Maxwell (sobre la rotación del campo eléctrico cero) se deriva del teorema de Gauss y es redundante. De hecho, al derivar la ley de Coulomb del teorema de Gauss (ver más abajo), usamos adicionalmente la simetría esférica del campo de una carga puntual, y también necesitamos introducir el principio de superposición, mientras que las ecuaciones de Maxwell son autosuficientes.

Históricamente, la ley de Coulomb se descubrió empíricamente primero. En este sentido (histórico), el teorema de Gauss es una consecuencia de ello. Es en relación con esto que se llama teorema, ya que originalmente apareció como un teorema.

Directamente debajo se muestra cómo se pueden obtener la ley de Coulomb y la ley de Gauss en el marco de la electrostática [16] una de la otra.

La ley de Coulomb como consecuencia de la ley de Gauss

Partimos del teorema de Gauss, escribiéndolo en unidades SI [17] , “El flujo del vector tensión a través de la superficie es proporcional a la carga contenida en esta superficie”: $\Phi_{{E,S}}$ $mi$ $S$

\Phi _{{E,S}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}.

Para derivar la Ley de Coulomb, consideraremos una carga puntual única dentro de una superficie cerrada S , por lo que Q aquí será la magnitud de esta carga.

Calculamos el mismo flujo por integración directa sobre la superficie. Supondremos que la afirmación sobre la simetría esférica del campo de una carga puntual con respecto a la posición de la carga es cierta (la experiencia demuestra que es exactamente cierta solo para una carga en reposo). De esto concluimos que el campo eléctrico será dirigido directamente desde la carga, y su valor será el mismo para todos los puntos ubicados a la misma distancia de la carga. De esto se deduce que el flujo total se calculará más fácilmente si elegimos una esfera centrada en la carga como superficie S. De hecho, la intensidad de campo E será entonces ortogonal a dS en todas partes , y el valor absoluto del vector E (lo denotaremos por E ) será el mismo en todas partes en esta esfera, y se puede sacar del signo integral. Asi que:

\Phi_{{E,S}}=\punto \limits_{S}{\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS}}=\punto \limits_{S}EdS=E\punto \limits _ {S}dS=ES.

Tenemos:

{\begin{casos}\Phi_{{E,S}}={\frac {Q}{\varepsilon_{0}}}\\\Phi_{{E,S}}=ES\end{casos }}

De aquí:

ES={\frac{Q}{\varepsilon _{0}}}.

Queda por sustituir aquí por el área de la esfera y resolver la ecuación para E. $S=4\pi r^{2}$

Entonces obtenemos:

E={\frac{1}{4\pi\varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}},

es decir, la ley de Coulomb.

Teorema de Gauss como consecuencia de la ley de Coulomb

Prueba elemental

Una demostración elemental se basa en dos pasos: probar el teorema para el caso de una carga puntual usando consideraciones geométricas y luego aplicar el principio de superposición, como resultado de lo cual el teorema resulta probado para un número arbitrario de cargas puntuales ( y por lo tanto en el caso general).

Procedemos de la ley de Coulomb:

{\mathbf E}({\mathbf r})={\frac {q}{r^{2}}}{\mathbf e}_{r}

donde es el vector unitario en la dirección del radio vector dibujado desde la carga (donde colocamos el origen) hasta el punto donde se mide la intensidad de campo , r es el módulo del vector r , es decir, la distancia desde la carga a este punto. (En esta sección, usaremos solo el sistema CGS , es decir, la constante de Coulomb es igual a uno. Para cambiar al sistema SI , simplemente agregue un factor. De manera similar, la transición a cualquier otro sistema de unidades diferirá solo en la constante de Coulomb). ${\mathbf e}_{r}$ $\mathbf{r}$ ${\mathbf E}({\mathbf r})$

Para una sola carga puntual dentro de una superficie

Denotemos la superficie a través de la cual debe calcularse el flujo E con la letra S . Suponemos que nuestra carga q está dentro de esta superficie.

Rodeemos la carga con otra superficie: una esfera S 0 con un centro en la carga y un radio R 0 tan pequeño que está completamente dentro de la superficie S . Calculemos el flujo a través de S 0 :

\Phi _{{S_{0}}}=4\pi R_{0}^{2}E.

Elegimos un pequeño (infinitamente pequeño, pequeño no sólo en magnitud, sino también “compactamente”, es decir, de modo que, digamos, pueda ser cubierto por un cono circular de ángulo sólido también pequeño), ángulo sólido con un vértice en el cobrar. $\omega$

Probemos que el flujo a través del área de la superficie S , recortada por este ángulo sólido , es igual al flujo a través del área , recortada por él de la esfera S 0 . Para ello, demostraremos que $\Phi_{{S,\omega}}\$ $\omega$ $\Phi _{{S_{0},\omega}}$ $S_{{0,\omega }}$

1. - el flujo a través del área recortada por un ángulo sólido desde la superficie S es igual al flujo a través del área recortada por un ángulo sólido desde cualquier plano perpendicular a los rayos que se encuentran en el interior , que, en un ángulo sólido infinitamente pequeño , son casi paralelas, difiriendo infinitamente en la dirección, lo que significa que el área será simultáneamente perpendicular (más estrictamente hablando, casi perpendicular) a todas ellas simultáneamente.

\Phi_{{S,\omega}}\ =\Phi_{{S_({\perp,\omega}}}}\

S_{\omega}

\omega

S{\perp,\omega},

\omega

\omega

2.- dentro del ángulo sólido , el flujo por el área perpendicular a los rayos es igual al flujo por el área de la esfera .

\Phi_{{S\perp,\omega}}=\Phi_{{S_{0},\omega}}.

\omega

S_{0}

La primera se demuestra por la observación de que el flujo a través de un área pequeña dS se puede representar como Y en relación a nuestro caso, esto significa la igualdad y . $d\Phi ={\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS))$ $d\Phi =E(dS)_{\perp}$ $(dS)_{\perp}$ $\Phi _{{S\perp ,\omega }}$ $\Phi_{{S,\omega}}$

El segundo puede verse a partir de consideraciones de similitud y la ley de Coulomb (que denota r la distancia de la carga a la intersección c S , vemos que la relación de áreas y es igual a , mientras que , es decir, el recíproco del número, como por lo que sus productos son iguales, y estos son los caudales y , cuya igualdad había que probar. $\omega$ $S{\perp,\omega}$ $S_{{0,\omega }}$ $r^{2}/R_{0}^{2}$ $E(r)/E(R_{0})=R_{0}^{2}/r^{2}$ $\Phi _{{S\perp ,\omega }}$ $\Phi _{{S_{0},\omega}}$

Si interseca a S repetidamente (lo que es posible si esto último es lo suficientemente complicado), todos estos argumentos, en definitiva, se repiten tantas veces como intersecciones haya, y la igualdad en valor absoluto del flujo a través de cada elemento de la superficie S está probado . Y teniendo en cuenta los signos durante la suma (obviamente se alternan; en total, el número de intersecciones debería resultar impar), la respuesta final resulta ser la misma que para el caso de una sola intersección. $\omega$

Y dado que la igualdad de estos flujos se satisface para todo pequeño , es decir, para cada elemento correspondiente S y S 0 , entre los cuales se establece una correspondencia uno a uno, y de esta manera es posible dividir toda la esfera S 0 sin resto en dichos elementos, entonces la igualdad también es válida para flujos a través de superficies completas (que son simplemente sumas de flujos a través de los elementos descritos de las superficies S y S 0 ). (Dado que la superficie S es cerrada, cada elemento de la esfera tiene un elemento correspondiente en S , o un número impar de elementos, como se describió anteriormente, que se pueden combinar, ya que se tiene en cuenta el flujo a través de todos ellos). $\omega$

Entonces, hemos probado que para una carga q dentro de una superficie cerrada S , el flujo a través de ella

\Phi _{S}=\Phi _{{S_{0}}}=4\pi R_{0}^{2}E.

Para una sola carga puntual fuera de la superficie

Un razonamiento bastante similar, llevado a cabo para el caso en que q está fuera del área delimitada por la superficie S , teniendo en cuenta el signo al calcular el flujo a través de cada sitio, da como resultado un flujo de cero. (El pequeño ángulo sólido ahora cruzará S un número par de veces, los flujos serán iguales en valor absoluto pero de signo opuesto) [18] .

La suma de los flujos elementales se realiza de la misma manera que en el párrafo 1, así como su cálculo.

Entonces, para una carga fuera de una superficie cerrada, el flujo a través de ella es cero .

Para cualquier número de cargos

El paso final es simple. Consiste en aplicar el principio de superposición.

Si para cada carga puntual , el campo creado por ella (cuando no hay otras cargas presentes) crea un flujo a través de la superficie que satisface el teorema de Gauss (es decir, para cada carga dentro de la superficie y 0 para cada fuera de la superficie), entonces el flujo del campo total ${\mathbf E}_{i}$ $\Phi _{i}=4\pi q_{i}$

\Phi =\int \limits _{S}(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}+\mathbf {E} _{3}+\dots )\cdot \mathbf {dS} =\int \limits_{S}\mathbf {E}_{1}\cdot \mathbf {dS} +\int \limits_{S}\mathbf {E}_{2}\cdot \mathbf {dS} +\int \limits _{S}\mathbf {E} _{3}\cdot \mathbf {dS} +\dots =\Phi _{1}+\Phi _{2}+\Phi _ {3}+\puntos

es igual a la suma de los flujos creados por cada carga en ausencia de las otras, es simplemente igual a

\Sigma \Phi _{i}=4\pi \Sigma q_{i},

donde la suma es solo sobre las cargas dentro de la superficie (cada una de las que están fuera contribuye con 0).

El teorema ha sido probado.

Prueba a través de la fórmula de Gauss-Ostrogradsky

Esta demostración es más formal.

1. Procedemos nuevamente de la ley de Coulomb (en esta sección usaremos el sistema CGS y, para mayor precisión, hablaremos sobre el campo del teorema E , y no D ):

{\mathbf E}({\mathbf r})={\frac {q}{r^{2}}}{\frac {{\mathbf r}}{r}}.

2. El campo de Coulomb satisface la forma diferencial de la ley de Gauss:

\nabla \cdot {\mathbf E}=4\pi \rho .

Esto se puede verificar [19] mediante la sustitución directa [20] de la fórmula (1) en (2).

3. Basados en el principio de superposición, creemos que el campo creado por muchas cargas también satisface esta ecuación diferencial (observando de paso que esta ecuación es lineal, y por lo tanto se aplica el principio de superposición).

4. Usando la fórmula de Gauss-Ostrogradsky , obtenemos inmediatamente:

4\pi Q=\int \limits_{V}4\pi \rho dV=\int \limits_{V}\nabla \cdot {\mathbf E}dV=\oint \limits_{{\parcial V} {\mathbf E}\cdot {\mathbf {dS}}=\Phi _{E}

El teorema ha sido probado.

Aplicación del teorema de Gauss

Siendo, junto con la ecuación de circulación cero del campo eléctrico, la ecuación de campo básica de la electrostática , el teorema de Gauss, junto con la expresión del campo eléctrico vectorial en términos de su potencial escalar, conduce a la ecuación de Poisson - la principal y única ecuación diferencial de la teoría clásica para el potencial electrostático .

En electrodinámica, el teorema de Gauss (ley de Gauss) también sigue siendo (completamente en la misma forma) una de las ecuaciones principales, una de las cuatro ecuaciones de Maxwell .

En algunas situaciones, el teorema de Gauss se puede utilizar para calcular directa y fácilmente el campo electrostático directamente. Son situaciones en las que la simetría del problema nos permite imponer tales condiciones adicionales a la intensidad del campo eléctrico que, junto con el teorema de Gauss, es suficiente para un cálculo elemental directo (sin utilizar los dos métodos generales habituales - resolver una diferencial parcial ecuación o integración frontal de campos de Coulomb para cargas puntuales elementales) .

Es de esta manera, utilizando el teorema de Gauss, que se puede derivar la propia ley de Coulomb ( ver arriba ).

A continuación se analizan ejemplos específicos de tal aplicación del teorema de Gauss.

Utilizan las siguientes cantidades y notación:

Densidad de carga a granel

\rho ={\frac{dq}{dV}},

donde está el elemento de volumen (infinitamente pequeño), $dV$

Densidad de carga superficial

\sigma ={\frac{dq}{dS}},

donde es un elemento de superficie (infinitamente pequeño). $dS$

Densidad de carga lineal

\lambda ={\frac{dq}{dl}},

donde es la longitud de un segmento infinitesimal. (El primero se usa para cargas distribuidas continuamente sobre el volumen, el segundo para las distribuidas sobre la superficie, el tercero para las distribuidas a lo largo de una línea unidimensional (curva, línea recta). $dl$

Cálculo de la intensidad de campo de una distribución de carga esféricamente simétrica

La forma de calcular utilizando el teorema de Gauss para cualquier distribución de carga esféricamente simétrica en general es la descrita anteriormente para el caso de una carga puntual (ver el párrafo sobre la ley de Coulomb ).

Notamos aquí solo en relación a las fuentes no puntuales con simetría esférica que (todo esto es consecuencia de la aplicación del método allí descrito):

Una carga esféricamente simétrica con un vacío esférico concéntrico (o región sin carga) en el medio no crea un campo dentro de este vacío (la intensidad del campo allí es cero).
En general, el campo a una distancia r del centro es creado solo por aquellas cargas que están más profundas al centro. Este campo se puede calcular de acuerdo con la ley de Coulomb: , solo que aquí Q debe entenderse como la carga total de una región esférica con radio r (lo que significa que la dependencia de r en última instancia difiere de la de Coulomb, ya que Q crece al aumentar r , al menos hasta que r no sea mayor que el radio de toda la región cargada, si es que a su vez es finita). $E=KQ/r^{2}$
Para r , mayor que el radio de la región cargada (si es finita), se cumple la ley de Coulomb más común (como para una carga puntual). Esto explica, por ejemplo, por qué la ley habitual de Coulomb funciona para bolas uniformemente cargadas, esferas, planetas con una estructura cercana a la simetría esférica incluso cerca de su superficie (por ejemplo, por qué cerca de la superficie de la Tierra el campo gravitatorio es lo suficientemente cercano al campo de una masa puntual concentrada en el centro de la Tierra).
En un caso especial interesante de una bola uniformemente cargada, su campo eléctrico (o gravitatorio) resulta ser proporcional a la distancia al centro dentro de la bola. [21]

Cálculo de la intensidad de campo de un plano infinito

Considere el campo creado por un plano infinito uniformemente cargado con la misma densidad de carga superficial en todas partes . Imagine mentalmente un cilindro con generadores perpendiculares al plano cargado y bases ( cada área) ubicadas simétricamente en relación con el plano (ver figura). $\sigma$ $\Delta S$

Por simetría:

Todos los vectores de intensidad de campo (incluidos y ) son perpendiculares al plano cargado: de hecho, debido a la simetría rotacional del problema, el vector de intensidad de campo debe transformarse en sí mismo para cualquier rotación alrededor del eje perpendicular al plano, y esto es posible para un vector distinto de cero sólo si es perpendicular al plano. De esto se deduce (entre otras cosas) que el flujo de la intensidad del campo a través de la superficie lateral del cilindro es igual a cero (ya que el campo se dirige en todas partes tangencialmente a esta superficie). $MI'$ $MI''$
$E'=E''=E$ .

El flujo del vector tensión es igual (debido a (1)) al flujo solo a través de las bases del cilindro, y éste, debido a que y son perpendiculares a estas bases y debido a (2), es simplemente . $MI'$ $MI''$ $2E\Delta S$

Aplicando el teorema de Gauss, y teniendo en cuenta , obtenemos (en el sistema SI ): $Q=\sigma\Delta S$

2E\Delta S={\frac {\sigma \Delta S}{\varepsilon _{0}}},

De que

E={\frac{\sigma}{2\varepsilon _{0}}},

En el sistema CGSE , todos los argumentos son completamente análogos (hasta coeficientes constantes), y la respuesta se escribe como $E=2\pi\sigma.$

Cálculo de la intensidad de campo de un filamento infinito

Consideremos el campo creado por un filamento rectilíneo infinito con una densidad de carga lineal igual a . Sea necesario determinar la intensidad creada por este campo a una distancia del hilo. Tomemos como superficie gaussiana un cilindro de eje coincidente con la rosca, radio y altura . Entonces el flujo de tensión a través de esta superficie, según el teorema de Gauss, es el siguiente (en unidades SI ): $\lambda$ $R$ $R$ $\Delta l$

\Phi _{{\mathbf {E}}}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}={\frac {\lambda \Delta l}{\varepsilon _{0}}}.

Por la simetría

el vector de intensidad de campo se dirige perpendicularmente al filamento, directamente alejándose de él (o directamente hacia él).
el módulo de este vector es el mismo en cualquier punto de la superficie del cilindro.

Entonces, el flujo de intensidad a través de esta superficie se puede calcular de la siguiente manera:

\Phi_{{\mathbf {E}}}=\sum_{i}\Delta S_{i}E_{i}=E\sum_{i}\Delta S_{i}=ES=E2\pi R \Delta l.

Solo se tiene en cuenta el área de la superficie lateral del cilindro, ya que el flujo por las bases del cilindro es cero (debido a la dirección de E tangencialmente a ellas). Igualando las dos expresiones obtenidas para , tenemos: $\Phi _{{{\mathbf E}}}$

{\frac {\lambda \Delta l}{\varepsilon _{0))}=E2\pi R\Delta l,

E={\frac {\lambda}{2\pi\varepsilon _{0}R}}.

(En el sistema GHS , la respuesta es: ). $E=2\lambda/R$

Otras tareas

El método descrito también es aplicable para resolver algunos otros problemas.

En primer lugar, así como para la simetría esférica del problema es posible calcular no solo el campo de una carga puntual, sino también otras fuentes de dicha simetría, también es cierto para las fuentes de simetría cilíndrica (uno puede calcular fácilmente el campo no solo de un hilo infinito, sino también de un cilindro infinito, tanto fuera como dentro de él, tuberías, etc.), así como para fuentes de simetría traslacional bidimensional (es posible calcular no solo el campo de un plano delgado, sino también, por ejemplo, el campo de una capa plana gruesa).

Además, se pueden resolver problemas similares no solo para una dimensión espacial igual a tres, sino también para una dimensión espacial mayor o menor (en principio, cualquiera). Esto puede ser importante en términos teóricos. Por ejemplo, el resultado obvio de tal enfoque es la afirmación de que en la ley de Coulomb en un espacio no curvo n -dimensional r entra en potencias de -(n-1), y localmente (para r pequeño ) esto también es cierto para espacios curvos.

Además, el teorema de Gauss permite en algunos casos calcular fácilmente el campo electrostático (o similar) no solo en el espacio plano, sino también en el espacio con curvatura. Un ejemplo es el problema de encontrar un análogo de la ley de Coulomb para un espacio bidimensional, que es la superficie de una esfera (la solución es fácil de encontrar y obviamente difiere de la ley de Coulomb habitual) [22] .

Consecuencias del teorema de Gauss

Una consecuencia del teorema de Gauss es el teorema de Earnshaw .
Otra consecuencia del teorema de Gauss es el hecho de que, en el caso estático, la densidad de cargas en exceso (es decir, no compensadas) dentro del conductor es cero. El exceso de carga solo puede aparecer en la superficie del conductor en una capa delgada (de hecho, su espesor es de aproximadamente una o dos distancias interatómicas) [23] . Estrictamente hablando, esto es cierto en ausencia de otras fuerzas (no electrostáticas) que actúen sobre las cargas. Si se tienen en cuenta estas fuerzas (generalmente se denominan fuerzas externas), incluso dentro de los conductores puede haber un campo eléctrico. Por ejemplo, en un campo gravitatorio, los iones más pesados de una solución tendrán una mayor concentración en el fondo de la solución, mientras que los más ligeros tenderán a ascender (debido a la fuerza de Arquímedes ). El campo eléctrico extremadamente pequeño resultante evitará tal separación gravitacional de cargas. Este efecto puede ser significativo para los sistemas coloidales , donde hay una pequeña carga en una partícula masiva en comparación con la solución, y otras partículas con el mismo signo de carga que las partículas coloidales están ausentes. Además, esta consecuencia es completamente falsa para el microcosmos, donde las fuerzas mecánicas cuánticas actúan sobre los electrones. Por ejemplo, en las fotocélulas solares semiconductoras, es el campo eléctrico el que separa los electrones y los "agujeros" que aparecen por parejas durante la absorción de la luz ( fotodisociación ). El efecto Peltier , en el que se basa la acción de los termopares, es un vívido ejemplo de la presencia de un campo electrostático en el interior de un conductor (en la zona de contacto de dos metales diferentes) .

Véase también

Fórmula de Ostrogradsky

Notas

↑ Y te permite hacer esto no solo para el espacio tridimensional, sino también para cualquier dimensión del espacio que se pueda encontrar en teoría.
↑ Aunque en la práctica, especialmente en el habla coloquial, a menudo no se hace la distinción en el uso de estos términos.
↑ Fedosin, SG Sobre la representación covariante de ecuaciones integrales del campo electromagnético // Progreso en la investigación electromagnética C: revista. - 2019. - Vol. 96 . - pág. 109-122 . - doi : 10.2528/PIERC19062902 . - . - arXiv : 1911.11138 . // Sobre la representación covariante de las ecuaciones integrales del campo electromagnético . Archivado el 22 de mayo de 2021 en Wayback Machine .
↑ Aquí, por brevedad, damos de nuevo solo en el GHS .
↑ Su presencia se explica cualitativamente por el hecho de que cuando se polariza el medio dieléctrico, los dipolos que lo componen se orientan de manera que algunos de ellos cortan la superficie, y en su interior se encuentran los extremos de los dipolos del mismo signo, los cuales crean una carga adicional "ligada" Qb dentro de él .
↑ Si existieran los monopolos magnéticos (o si realmente existen y serán descubiertos), las ecuaciones dadas serían (o deberían ser): $\Phi _{{\mathbf {B}}}\equiv \oint \limits _{S}{\mathbf {B}}\cdot {\mathrm {d}}{\mathbf {S}}=Q_{m} ,$ $\nabla \cdot {\mathbf {B}}=\rho _{m},$ donde está la carga magnética (la carga de los monopolos magnéticos) y la densidad de carga magnética. Entre otras cosas, nada prohíbe considerar las cargas magnéticas de manera puramente formal, en el espíritu del teorema de la hoja magnética de Ampere , cuando es conveniente para resolver algún problema; en este caso, el flujo creado por las cargas magnéticas introducidas formalmente también satisface las ecuaciones dadas aquí. En este caso, la ecuación de Maxwell sobre la ley de inducción electromagnética también cambiará. (Se da la forma de ecuaciones en un sistema de unidades completamente racionalizado; dependiendo de la elección de un sistema de unidades particular, un factor constante puede aparecer en el lado derecho, por ejemplo, en el sistema de unidades gaussiano habitual, el factor habitual porque aparecerá allí ). $Q_{m},\rho_{m}$ $4\pi$
↑ El signo menos aparece debido al hecho de que tal es el signo en la ley de la gravitación universal , un análogo de la ley de Coulomb en la teoría de la gravedad de Newton.
↑ Tal interpretación históricamente se remonta, aparentemente, a Faraday.
↑ O proporcional a él con un coeficiente constante (que es lo mismo, ya que depende solo de la especificación condicional del modelo).
↑ O proporcionalmente, según las unidades de medida utilizadas y la convención condicional de la implementación del modelo.
↑ Históricamente, esta analogía fue de gran importancia para Maxwell y se aplicó intensamente en el curso del desarrollo posterior de la electrodinámica.
↑ Para aquellas teorías y campos cuando se cumple, es decir, por ejemplo, para la electrodinámica.
↑ "... un poderoso corolario del teorema "integral" de la ley de Coulomb y el principio de superposición: el teorema de Gauss". AV. Zoteev, A.A. Sklyankin. Conferencias en el curso de física general. Mecánica. Electricidad y magnetismo. Tutorial. - Editorial de la Universidad Estatal de Moscú. MV Lomonosov, sucursal de la Universidad Estatal de Moscú en Bakú, 2014. - 242 p. Cita en p.99
↑ "En otras palabras, la ley de Gauss por sí sola no es una condición suficiente para la simetría del campo de fuente puntual implícita en la ley de Coulomb" Purcell E. Berkeley Course in Physics (en 5 volúmenes). T.2: Electricidad y magnetismo. Por. De inglés. T.2. 1971. 448 págs. Nota en la página 42
↑ La axiomatización de la electrodinámica, en la que la ley de Coulomb es primaria, permite obtener una conclusión sobre la validez de las ecuaciones de Maxwell -incluido el teorema de Gauss- para movimientos uniformes de cargas, pero requiere un postulado adicional sobre la extensión de estas ecuaciones al caso de movimientos acelerados, mientras que la transición inversa de las ecuaciones de Maxwell a la ley de Coulomb no requiere supuestos adicionales. En este sentido, estos dos tipos de axiomatizaciones no son del todo simétricos (y la ley de Coulomb aparece junto con varios postulados adicionales), lo que, sin embargo, no hace que estas axiomatizaciones no sean equivalentes.
↑ Aquí debemos limitarnos al marco de la electrostática por la razón de que la ley de Coulomb como tal tiene lugar solo dentro de su marco.
↑ Esto parece ser metodológicamente más apropiado para este párrafo que, digamos, usar un GHS no racionalizado .
↑ Como resultado, la esfera S 0 ni siquiera es necesaria en este caso.
↑ Puedes adivinar que la ecuación debería ser exactamente así, por ejemplo, a partir de la analogía con el flujo de un líquido. Es cierto que tal analogía prueba inmediatamente todo el teorema, pero esta prueba pierde los detalles matemáticos que nos gustaría rastrear, por lo que nos limitamos a usar esta analogía solo como una pista heurística (si estamos interesados en esta pregunta; de lo contrario, , una simple verificación computacional sobre lo que se indica en el texto principal).
↑ Por ejemplo, escribiendo la expresión (1) para la ley de Coulomb explícitamente en coordenadas cartesianas, después de lo cual solo queda tomar las derivadas con respecto a x , y y z y sumarlas.
↑ Este campo se puede medir si se desea, si hay un pozo delgado en la bola o si la bola es líquida, entonces es fácil penetrar en él. Por lo tanto, una fuerza actúa sobre el cuerpo dentro de una bola como en un oscilador armónico , y si la bola es líquida, es decir, no interfiere con el movimiento libre del cuerpo de prueba en ninguna dirección, entonces tenemos un tres- oscilador armónico dimensional.
↑ Puede parecer que la última tarea es puramente abstracta, pero de hecho se implementa fácilmente en la práctica: basta con tomar una fina capa esférica de un líquido conductor, por ejemplo, entre paredes esféricas aislantes, o simplemente una pompa de jabón; el campo eléctrico en tal capa corresponderá a la situación descrita. También es posible considerar un campo magnético en una delgada capa esférica vacía encerrada entre paredes superconductoras concéntricas; tal sistema implementa el problema descrito incluso para un campo magnético.
↑ IE Herodov. Electromagnetismo: leyes básicas. - 7ª ed.- M. : Binom. Laboratorio del Conocimiento., 2009. - S. 46-47.

Literatura

Matveev A. N. Electricidad y magnetismo: libro de texto. - M .: Escuela Superior, 1983. - 463 p., il. y ediciones posteriores.
Sivukhin DV Curso general de física. — M. . - T. III. Electricidad. - §§ 5 - 8, 13, 53.

diccionarios y enciclopedias	Gran danés Britannica (en línea)