Integrales de superficie

Al igual que con las integrales curvilíneas , existen dos tipos de integrales de superficie.

Integral de superficie de primera especie

Definición

Sea una superficie completa lisa y delimitada . Sea más adelante dada una función . Considere una partición de esta superficie en partes mediante curvas suaves por partes y elija un punto arbitrario en cada una de esas partes . Habiendo calculado el valor de la función en este punto y, tomando como área de superficie , considere la suma $\Fi$ $\Fi$ ${\ estilo de visualización f (M) = f (x, y, z)}$ $T$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {i} \ (i = 1, \ puntos, n)}$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\sigma_i$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {i}}$

I\{\Phi_{i},M_{i}\}=\sum_{i}f(M_{i})\sigma_{i}.

Entonces el número se llama límite de sumas , si $yo$ $yo\{\Phi_{i},M_{i}\}$

\forall \varepsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall T:d(T)<\delta \ \forall \{M_{i}\}\ {\bigl |}I\{\Phi _ {i},M_{i}\}-I{\bigr |}<\varepsilon.

El límite de las sumas en se denomina integral de superficie de la primera clase de una función sobre la superficie y se denota de la siguiente manera: $yo$ $yo\{\Phi_{i},M_{i}\}$ ${\ estilo de visualización d (T) \ a 0}$ ${\ estilo de visualización f (M)}$ $\Fi$

I=\iint \limits_{\Phi }f(M)\,d\sigma .

Forma paramétrica

Sea posible introducir una parametrización unificada en la superficie mediante las funciones $\Fi$

x=x(u,v),\quad y=y(u,v),\quad z=z(u,v),

dada en una región cerrada acotada del plano y perteneciente a una clase en esta región. Si la función es continua en la superficie , entonces existe la integral de superficie del primer tipo de esta función en la superficie y se puede calcular mediante la fórmula $\Omega$ $(u,v)$ $c ^ 1$ ${\ estilo de visualización f (M) = f (x, y, z)}$ $\Fi$ $\Fi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,d\sigma =\iint \limits _{\Omega }f{\big (}x(u,v),y(u, v),z(u,v){\grande)}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv,

dónde:

E=(x_{u}')^{2}+(y_{u}')^{2}+(z_{u}')^{2},

F=x_{u}'x_{v}'+y_{u}'y_{v}'+z_{u}'z_{v}',

G=(x_{v}')^{2}+(y_{v}')^{2}+(z_{v}')^{2}.

Propiedades

De la definición de una integral de superficie del primer tipo se sigue que esta integral es independiente de la elección de orientación del campo vectorial de unidades normales a la superficie o, como se suele decir, de la elección del lado de la superficie. Sean las funciones y sean integrables sobre dominios . Después: $F$ $gramo$ $\phi ,\phi _{1}, \phi _{2}$

Linealidad: para cualquier número real . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,d\sigma =\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma +\beta \iint \limits _ {\Phi}g\,d\sigma$ ${\ estilo de visualización \ alfa, \ beta \ en \ mathbb {R}}$
Aditividad : siempre que y no tengan puntos interiores comunes . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,d\sigma +\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,d\sigma =\iint \limits _{\ Phi _{1}\taza \Phi_{2}}f\,d\sigma$ $\phi _{1}$ $\Phi _{2}$
Monotonía :
- si , entonces ; ${\ estilo de visualización f \ geqslant g}$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma \geqslant \iint \limits _{\Phi }g\,d\sigma$
- para , si , entonces . $f \geqslant 0$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {1} \ subconjunto \ Phi _ {2}}$ $\iint \limits_{\Phi_{1}}f\,d\sigma <\iint \limits_{\Phi_{2}}f\,d\sigma$
El teorema del valor medio para una función continua y una superficie acotada cerrada : $F$ $\Fi$ $\iint \limits _{\Phi }f\,d\sigma =f(\xi )\iint \limits _{\Phi }d\sigma =f(\xi )\mu (\Phi )$ , donde , y es el área de la región . ${\ estilo de visualización \ xi \ en \ Phi}$ $\mu (\Phi)$ $\Fi$

Integral de superficie de segunda especie

Definición

Considere una superficie de dos lados , lisa o lisa por partes, y fije uno de sus dos lados, lo que equivale a elegir una orientación determinada en la superficie. $\Fi$

Para definirlo, primero asumimos que la superficie está dada por una ecuación explícita y que el punto cambia en una región en el plano delimitado por un contorno suave por partes. ${\ estilo de visualización z = z (x, y)}$ $(x, y)$ ${\ estilo de visualización (D)}$ $xy$

Definamos ahora alguna función en los puntos de la superficie dada . Habiendo dividido la superficie por una red de curvas suaves por partes en partes y eligiendo un punto en cada una de esas partes , calculamos el valor de la función en un punto dado y lo multiplicamos por el área de proyección en el plano del elemento . equipado con un cierto signo. Hagamos una suma integral $\Fi$ ${\ estilo de visualización f (M) = f (x, y, z)}$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {i} \ (i = 1, \ puntos, n)}$ $M_{i}(x_{i},y_{i},z_{i})$ $f(M_{i})=f(x_{i},y_{i},z_{i})$ $D_{yo}$ $xy$ ${\ estilo de visualización \ Phi _ {i}}$

\sum_{i=1}^{n}f(M_{i})D_{i}=\sum_{i=1}^{n}f(x_{i},y_{i} ,z_{i})D_{i}.

El límite final de esta suma integral, ya que los diámetros de todas las partes tienden a cero, se denomina integral de superficie del segundo tipo de

f(M)\,dx\,dy=f(x,y,z)\,dx\,dy,

extendido al lado seleccionado de la superficie , y denotado por el símbolo $\Fi$

I=\iint \limits _{\Phi }f(M)\,dx\,dy=\iint \limits_{\Phi }f(x,y,z)\,dx\,dy

(aquí recuerda al área de la proyección de un elemento de superficie sobre un plano ). ${\ estilo de visualización dx \, dy}$ $xy$

Si en lugar de un plano , proyectamos los elementos de superficie sobre un plano o , entonces obtenemos otras dos integrales de superficie del segundo tipo: $xy$ ${\ estilo de visualización yz}$ ${\ estilo de visualización zx}$

{\ estilo de visualización \ iint \ límites _ {\ Phi} f (x, y, z) \, dy \, dz}

{\ estilo de visualización \ iint \ límites _ {\ Phi} f (x, y, z) \, dz \, dx.}

En aplicaciones, las combinaciones más comunes de integrales de todos estos tipos son:

\iint \limits _{\Phi }P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy,

donde son las funciones de , definidas en los puntos de la superficie . ${\ estilo de visualización P, Q, R}$ $(x, y, z)$ $\Fi$

Relación entre integrales de superficie de segundo y primer tipo

\iint \limits _{\Sigma +}f(x,y,z)\,dy\,dz=\iint \limits _{\Sigma }f(x,y,z)\cos(\nu \cuña i)\,d\sigma ,

donde es el vector normal unitario de la superficie , es el ort. $\nu$ $\Sigma$ $i$

Propiedades

Linealidad: . $\iint \limits _{\Phi }(\alpha f+\beta g)\,dx\,dy=\alpha \iint \limits _{\Phi }f\,dx\,dy+\beta \iint \ límites _ {\Phi}g\,dx\,dy$
Aditividad: . $\iint \limits _{\Phi _{1}}f\,dx\,dy+\iint \limits _{\Phi _{2}}f\,dx\,dy=\iint \limits_{ \Phi _{1}+\Phi _{2}}f\,dx\,dy$
Cuando cambia la orientación de la superficie, la integral de superficie cambia de signo.

Véase también

Literatura

Fikhtengolts, G. M. Capítulo 17. Integrales de superficie // [Curso de cálculo diferencial e integral]. - T. 3.
Ilyin, V. A., Poznyak, E. G. Capítulo 5. Integrales de superficie // Fundamentos del análisis matemático. - V. 2. - (Curso de matemáticas superiores y física matemática).

Enlaces

El mundo de las ecuaciones matemáticas Archivado el 21 de noviembre de 2019 en Wayback Machine .

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	NKC : ph124123

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