Paraboloide

El paraboloide es un tipo de superficie de segundo orden en el espacio euclidiano tridimensional .

Un paraboloide se puede caracterizar como una superficie de segundo orden no cerrada y no central (es decir, que no tiene centro de simetría ).

Ecuaciones canónicas de un paraboloide en coordenadas cartesianas :

z=tx^{2}+uy^{2},

donde y son números reales que no son iguales a cero al mismo tiempo.

t

tu

Donde:

si y del mismo signo, entonces el paraboloide se llama elíptico , un caso especial de paraboloide elíptico en este caso, la superficie se suele llamar paraboloide de revolución ; $t$ $tu$ ${\ estilo de visualización t = u,}$
si y de diferente signo, entonces el paraboloide se llama hiperbólico ; $t$ $tu$
si uno de los coeficientes es cero, entonces el paraboloide se llama cilindro parabólico .

Secciones de un paraboloide por planos verticales (paralelos al eje ) de posición arbitraria - parábolas . $z$

Las secciones de un paraboloide por planos horizontales paralelos al plano para un paraboloide elíptico son elipses , para un paraboloide de revolución estas intersecciones son círculos cuando tal intersección existe. ${\ estilo de visualización x, \ y}$

Las intersecciones de un paraboloide hiperbólico son hipérbolas .

En casos particulares de intersección, la sección puede resultar ser una línea o un par de líneas (para un paraboloide hiperbólico o un par de líneas paralelas para un cilindro parabólico) o degenerar en un punto (para un paraboloide elíptico).

Paraboloide elíptico

Un paraboloide elíptico es una superficie definida por una función de la forma:

z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.

Un paraboloide elíptico se puede describir como una familia de parábolas paralelas con ramas hacia arriba cuyos vértices describen una parábola, con ramas también hacia arriba (ver figura).

Si , entonces el paraboloide elíptico es una superficie de revolución formada por la rotación de la parábola alrededor de su eje de simetría. $a=b$

Paraboloide hiperbólico

Paraboloide hiperbólico (llamado "gipar" en construcción): superficie de silla de montar , descrita en un sistema de coordenadas rectangulares mediante una ecuación de la forma

z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}

z={\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}.

Además, se puede formar un paraboloide hiperbólico moviendo una parábola cuyas ramas se dirigen hacia abajo a lo largo de una parábola cuyas ramas se dirigen hacia arriba (ver figura).

Un paraboloide hiperbólico es una superficie reglada .

La superficie generada por interpolación bilineal de alguna función sobre 4 puntos es un paraboloide hiperbólico.

Datos interesantes

La superficie de un líquido en un recipiente que gira uniformemente es un paraboloide de revolución (que no es la razón directa de su nombre).
La propiedad de un paraboloide de revolución se usa a menudo para recoger un haz de rayos paralelos al eje principal en un punto: foco o, por el contrario, para formar un haz paralelo de radiación desde una fuente enfocada. En este principio se basa el funcionamiento de antenas parabólicas , telescopios reflectores con espejo parabólico, proyectores , faros de automóviles , etc.Para más detalles, véase reflector (espejo) .

Véase también

Un hiperboloide es otro tipo de superficie de segundo orden.
Superficies de segundo orden .
Forma cuadrada .

Literatura

Delaunay B. N., Raikov D. A. Geometría analítica, en dos volúmenes. — M., L.: Gostekhizdat , 1948, 1949.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometría analítica. - M. : FIZMATLIT, 2002. - 240 p.
Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Geometría analítica. - M. : Editorial de MSTU im. N. E. Bauman, 2002. - 388 p. — ISBN 5-7038-1671-8 .