Núcleo (álgebra)

El kernel en álgebra es una característica del mapeo , denotado por, reflejando la diferencia del mapeo inyectivo , generalmente el conjunto de imágenes inversas de algún elemento fijo (cero, identidad, neutral) . La definición específica puede variar, pero para un mapeo inyectivo , el conjunto siempre debe ser trivial, es decir, debe consistir en un elemento (generalmente un elemento neutral de ). $\f:A\flecha derecha B$ $\ker \,f$ $F$ $mi$ $F$ $\ker \,f$ $A$

Si los conjuntos y tienen alguna estructura (por ejemplo, son grupos o espacios vectoriales ), entonces también deben tener esta estructura, mientras que varias formulaciones del teorema principal del homomorfismo conectan la imagen y el conjunto factorial . $A$ $B$ $\ker \,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $A/\ker\,f$

Núcleo de mapeo lineal

El núcleo de un mapeo lineal es la imagen inversa del elemento cero del espacio : $f:\,V\a U$ $tu$

\ker f=\{x\in V:f(x)=0\}.

$\ker f$ es un subespacio de . Siempre contiene el elemento de espacio nulo . Según el teorema fundamental del homomorfismo , la imagen es isomorfa al espacio cociente con respecto al núcleo : $V$ $V$ $F$ $V$ $F$

\mathrm {Im} \,f\simeq V/\ker f.

En consecuencia, la dimensión de la imagen del espacio es igual a la diferencia entre las dimensiones del espacio y el núcleo de mapeo, si la dimensión es finita: $V$

\dim \mathrm {Im} \,f=\dim V-\dim \ker f,

y la imagen inversa de cualquier vector se define hasta la adición de un vector del kernel:

f^{{-1}}(u)=v_{0}+\ker f,~~~f(v_{0})=u,~~~v_{0}\en V,~u\en U .

Cualquier base del kernel se llama un sistema fundamental de soluciones .

Teoría de matrices

Cualquier matriz rectangular de tamaño , que contenga elementos de campo (en particular, números reales ), se puede considerar como un operador lineal para multiplicar vectores desde la izquierda por una matriz: $GRAMO$ $m\veces n$ $k$ $g:{\mathbb {K}}^{n}\rightarrow {\mathbb {K}}^{m}$

g(v)=Gv,~~~v\in {\mathbb {K}}^{n}

Por lo tanto, los resultados de la teoría de espacios lineales de dimensión finita se trasladan por completo al trabajo con matrices. En particular, el sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $norte$

\left\{{\begin{matriz}a_{{11}}x_{1}+\ldots +a_{{1n}}x_{n}=b_{1};\\\ldots ~~\ldots ~~ \ldots ~~\\a_{{m1}}x_{1}+\ldots +a_{{mn}}x_{n}=b_{m}.\end{matriz}}\right.

puede ser considerado como el problema de encontrar la preimagen del vector , y el problema de resolver el sistema homogéneo de ecuaciones ( ) se reduce a encontrar el núcleo del mapeo . ${\mathbf {b}}=(b_{1},\;\ldots,\;b_{m})$ ${\mathbf{b}}={\mathbf{0}}$ $gramo$

Ejemplo

Sea una aplicación lineal y: $F$ $f:{\mathbb R}^{3}\a {\mathbb R}^{3}$

f({\vec {x)))={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{ 3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\0\end{pmatrix}}.

Entonces su núcleo es un subespacio vectorial:

\ker f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}}\in {\mathbb R}^{3}\mid \lambda \in {\mathbb R} \Correcto\}.

Homomorfismo de grupos

Si es un homomorfismo entre grupos , entonces forma un subgrupo normal de . $F$ $\ker f$ $A$

Homomorfismos de anillos

Si es un homomorfismo entre anillos , entonces forma un ideal del anillo . $F$ $\ker f$ $A$

Véase también

copita

Literatura

Curso de Álgebra de Vinberg E. B. - 3ra ed. - Moscú: Prensa Factorial, 2002. - 544 p. - 3000 copias. — ISBN 5-88688-060-7 .