↔ ⇔ ≡
“ Entonces y sólo entonces ” es un vínculo lógico de equivalencia entre declaraciones utilizadas en lógica , matemáticas , filosofía . Para ser equivalente, un conectivo debe ser idéntico a un condicional material estándar [1] ("solo entonces" es equivalente a "si... entonces"), conectado con su opuesto, de ahí el nombre del enlace. Como resultado, la verdad de una afirmación requiere la misma verdad de la otra, es decir, ambas son verdaderas o ambas son falsas. Se puede discutir si la expresión del idioma ruso "si y solo entonces" transmite el vínculo definido anteriormente con su significado ya existente. Por supuesto, nada puede impedir que leamos este paquete exactamente como "si y solo entonces", aunque esto a veces puede generar confusión.
En la escritura, a menudo se utilizan expresiones bastante controvertidas como alternativa a "entonces y solo entonces", que incluyen: Q es necesario y suficiente para P ; P es equivalente (o materialmente equivalente) a Q ; R exactamente si Q ; P exactamente cuando Q ; P exactamente en el caso de Q ; P exactamente en el caso de Q .
En fórmulas lógicas, en lugar de todas las frases anteriores, se utilizan símbolos lógicos.
La tabla de verdad para p ↔ q es la siguiente: [2]
| pags | q | pag ↔ q |
|---|---|---|
| una | una | una |
| una | 0 | 0 |
| 0 | una | 0 |
| 0 | 0 | una |
Tenga en cuenta que la celda XNOR estándar realiza la transformación equivalente y la celda XOR estándar realiza la transformación opuesta.
Los símbolos lógicos ↔, ⇔ y ≡ se utilizan para designar el conectivo lógico “si y solo entonces” en las fórmulas. En los textos en inglés , a veces se usa “iff” (una abreviatura de “if and only if”) para denotar un enlace, y en los textos en ruso , por analogía, la abreviatura “ttt” [3] o “sogda” [4] es usado ocasionalmente . Por lo general, todos estos símbolos se tratan como equivalentes. Sin embargo, algunos textos de lógica matemática (especialmente sobre lógica de primer orden y en menor medida sobre lógica proposicional ) hacen una distinción entre ellos, siendo el primer signo ↔ utilizado como símbolo en fórmulas lógicas, mientras que el signo ⇔ se utiliza en fórmulas lógicas. razonamiento sobre estas fórmulas (por ejemplo, en metalógica ). La notación Łukasiewicz usa el carácter "E" como prefijo. La negación de este conectivo es "o exclusivo".
En la mayoría de los sistemas lógicos , los enunciados de la forma "P ↔ Q" se prueban mediante la demostración "si P, entonces Q" y "si Q, entonces P" (o al contrario , "si no-P, entonces no-Q" y "si no-Q, entonces no-P"). La demostración de este par de afirmaciones a veces conduce a una demostración más rigurosa, ya que existen condiciones no obvias de las que se puede derivar directamente la equivalencia. Una alternativa es probar la disyunción "(P y Q) o (no-P y no-Q)", que a su vez se puede deducir de las disyuntivas, es decir, dado que el conectivo ↔ es una función de verdad, se sigue que "P ↔ Q" es verdadera solo si P y Q son verdaderas o falsas.
La suficiencia es lo contrario de la necesidad. Es decir, si se da P → Q (o si P , entonces Q ), entonces P será una condición suficiente para Q y Q será una condición necesaria para P. Además, si se da P → Q , entonces ¬Q → ¬P también es cierto (donde ¬ es el operador de negación, es decir, "no"). Esto significa que la relación entre P y Q establecida por el operador P → Q se puede expresar de las siguientes formas equivalentes:
P es suficiente para Q (si P es verdadera, entonces Q es cierta) Q es necesario para P (si Q es verdadero, entonces P es probabilístico) ¬Q es suficiente para ¬P (si ¬Q es verdadero, entonces ¬P es seguro) ¬P es necesario para ¬Q (si ¬P es verdadero, entonces ¬Q es probabilístico)Tomando como ejemplo la oración anterior (1), que establece P → Q , donde P es "el flan en cuestión" y Q es "Madison se comerá el pudín en cuestión". Las siguientes cuatro formas de expresar relaciones son equivalentes:
Si el budín en cuestión es flan, entonces Madison se lo comerá. Solo que si Madison se come el budín en cuestión, probablemente sea natillas. Si Madison no se come el budín en cuestión, es sin natillas. Solo si el budín en cuestión no está libre de natillas, es posible que Madison no lo coma.Así, vemos que la oración anterior (2) puede reformularse como si... entonces , por ejemplo, "Si Madison se come el pudín en cuestión, entonces es con natillas". Tomando esto junto con (1), encontramos que (3) se puede enunciar de la siguiente manera: "Si el pudín en cuestión es natilla, entonces Madison se lo comerá, y si Madison come el pudín, entonces será natilla".