Metalógico
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 10 de noviembre de 2021; las comprobaciones requieren 5 ediciones .La metalógica es el estudio de la metateoría de la lógica . Mientras que la lógica es el estudio de las formas en que se utilizan los sistemas lógicos para el razonamiento, la prueba y la refutación, la metalógica es el estudio de las propiedades de los sistemas lógicos mismos.
El área de investigación de la metalógica incluye: lenguajes formales , sistemas formales y sus interpretaciones . El estudio de la interpretación de los sistemas formales es una rama de la lógica matemática conocida como teoría de modelos , el estudio del aparato deductivo de un sistema formal es una rama de la teoría de la demostración .
Se conocen cuestiones separadas de metalógica desde la época de Aristóteles , pero solo con el advenimiento de los lenguajes formales a fines del siglo XIX. y principios del siglo XX. el estudio de los fundamentos de la lógica se ha convertido en una tendencia floreciente. Hoy en día, la metalógica y la metamatemática a menudo se consideran sinónimos y se estudian en la educación académica en el marco de la lógica matemática.
Resumen
Lenguaje formal
Un lenguaje formal (LE) es un conjunto organizado de elementos cuya característica principal es que pueden definirse con precisión en términos de su forma y ubicación (ocurrencia). En este caso, el lenguaje es susceptible de definición sin ningún recurso a los significados significativos de sus expresiones, es decir, puede fijarse antes de que se le asigne ninguna interpretación (se define algún sentido). La lógica de primer orden es expresable en un lenguaje tan formal. Una gramática formal define qué elementos y secuencias de elementos son las fórmulas de ese lenguaje.
Un lenguaje formal puede definirse como un conjunto A de cadenas (secuencias finitas) de símbolos de algún alfabeto fijo O+. Algunos autores, incluido Carnap, definen una lengua como un par ordenado. Carnap requiere que cada carácter de O+ aparezca en A en al menos una línea.
Reglas de formación
Las reglas de formación (también llamadas gramática formal) son descripciones precisas de cadenas de lenguaje formal bien formadas. Estas reglas definen un conjunto de líneas sobre el alfabeto, que consiste en fórmulas bien formadas (ppf). Sin embargo, las reglas no describen la semántica de las fórmulas (lo que significan).
Sistemas formales
Un sistema formal (también llamado cálculo lógico o sistema lógico) consta de un lenguaje formal junto con un aparato deductivo (un sistema deductivo). Un aparato deductivo puede consistir en reglas de transformación (también llamadas reglas de inferencia) o un conjunto de axiomas, pero puede incluir ambos. Un sistema formal se utiliza para derivar alguna expresión de (una o más) otras expresiones.
Un sistema formal también se puede definir como un triple ordenado, donde d es la relación de deducibilidad directa. Esta relación se entiende en el sentido de que las oraciones elementales (inicial, atómica) de un sistema formal se toman como directamente derivables de un conjunto vacío de oraciones. La derivabilidad inmediata es una relación entre una oración y un conjunto de oraciones finito, posiblemente vacío. Los axiomas están escritos de tal manera que cada primer componente de la relación d es una oración (fórmula), y cada segundo componente es un (sub)conjunto finito de oraciones.
Es posible definir un sistema formal usando solo la relación d. De esta forma, podemos omitir O± en las definiciones de lenguaje formal interpretado y sistema formal. Sin embargo, este método es probablemente más difícil de entender y trabajar con él. [3]
Pruebas formales
Una prueba formal es una secuencia de fórmulas PhYa bien formadas, la última de las cuales se considera como un teorema del sistema formal. El teorema es una consecuencia sintáctica de todos los anteriores a.p.f. esta prueba Para calificar una f.p.p. como parte de una prueba, debe ser el resultado de aplicar alguna regla del aparato deductivo a la f.p.p. anterior. prueba de.
Interpretaciones
La interpretación del sistema formal consiste en asignar valores a los símbolos, y valores de verdad a las oraciones del sistema formal. La semántica formal se ocupa del estudio de las interpretaciones. Construir una interpretación está cerca del proceso de construir un modelo.
Distinciones importantes en metalógica
Metalenguaje - lenguaje-objeto
En metalógica, los lenguajes formales a veces se denominan lenguajes de objetos. El lenguaje utilizado para hacer declaraciones sobre lenguajes objeto se llama metalenguaje. Esta es la diferencia clave entre lógica y metalógica. Mientras que la lógica se ocupa de las pruebas en un sistema formal, expresado en algún LE, la metalógica se ocupa de las pruebas sobre un sistema formal, que se expresan en el metalenguaje de algún lenguaje objeto.
Sintaxis - semántica
En metalógica, la 'sintaxis' considera FL o sistemas formales sin tener en cuenta su interpretación, mientras que la 'semántica' se asocia con interpretaciones de FL. El término 'sintáctico' cubre un contexto un poco más amplio que el término 'teórico de prueba', ya que se puede aplicar a las propiedades de FL independientemente de cualquier sistema deductivo, así como a los sistemas formales. 'Semántica' es sinónimo del término 'teoría de modelos'.
Uso - mención
En metalógica, las palabras "usar" y "mencionar", en las formas de sustantivo y verbo, identifican una diferencia importante, a saber, la diferencia entre usar una palabra (o frase) y mencionarla. Por lo general, se usan comillas, cursiva o escribir la expresión en una línea separada para indicar que la expresión se menciona y no se usa. El uso de comillas nos da el nombre (título) de la expresión, por ejemplo: "Metalógica" es el título de este artículo. Este artículo trata sobre metalógica.
Tipo - Marcador
La distinción de marcador de tipo separa un concepto abstracto de los objetos que son casos especiales (ejemplos, instancias) de este concepto. Por ejemplo, una bicicleta en particular en su garaje es un caso especial (instancia) del tipo de entidad conocido como "bicicleta". Considere que la bicicleta en su garaje está en un lugar particular en un momento particular, y estas circunstancias no se aplican a la "bicicleta" en la oración: "la bicicleta se ha vuelto más popular recientemente". Esta distinción se utiliza para aclarar los significados de los símbolos FY.
Historia
Las cuestiones de orientación metalógica surgieron ya en la época de Aristóteles . Sin embargo, no fue hasta el advenimiento de FL a fines del siglo XIX y principios del XX que la investigación sobre los fundamentos de la lógica comenzó a expandirse. En 1904 , D. Hilbert señaló que en la investigación sobre los fundamentos de las matemáticas se utilizan esencialmente conceptos lógicos y, por lo tanto, se requiere una consideración coordinada simultánea de principios metalógicos y metamatemáticos. En el tratamiento moderno, la metalógica y la metamatemática se superponen en gran medida, y ambas disciplinas están significativamente relacionadas con la lógica matemática .
Resultados obtenidos en metalógica
Los resultados de la metalógica consisten en gran parte en pruebas formales que demuestran la consistencia, integridad y decidibilidad de sistemas formales específicos. Los principales resultados de la metalógica incluyen:
- Una prueba de la incontabilidad del conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de números naturales ( teorema de Cantor , 1891)
- Teorema de Löwenheim-Skolem (1920)
- Prueba de la consistencia de la lógica proposicional (Emil Post, 1920)
- Prueba de la completitud semántica de la lógica proposicional (P. Bernays, 1918), [4] (E. Post, 1920) [2]
- Una prueba de la integridad sintáctica de la lógica proposicional (Emil Post, 1920) [2]
- Una prueba de la decidibilidad de la lógica proposicional (Emil Post, 1920) [2]
- Una prueba de la consistencia de una lógica de predicados de un solo lugar de primer orden ( L. Levenheim , 1915)
- Prueba de la completitud semántica de la lógica uniplaza de predicados de primer orden (L. Levenheim, 1915)
- Prueba de la decidibilidad de la lógica uniplaza de predicados de primer orden (L. Levenheim, 1915)
- Prueba de la consistencia de la lógica de predicados de primer orden (D. Hilbert y W. Ackermann, 1928)
- Una prueba de la completitud semántica de la lógica de predicados de primer orden ( teorema de completitud de Gödel , 1930)
- Una prueba de la indecidibilidad de la lógica de predicados de primer orden ( teorema de Church , 1936)
- El primer teorema de incompletitud de Gödel , 1931
- Segundo teorema de incompletitud de Gödel , 1931
- Teorema de Tarski sobre la inexpresabilidad de la verdad (Gödel y Tarski, 1936)
Literatura
- Metalogics // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.
- Editado por A.A. Ivin. Metalógica // Filosofía: Diccionario Enciclopédico. - Guardias . - M. , 2004.
- Hunter, Geoffrey, Metalogic: Introducción a la metateoría de la lógica estándar de primer orden, University of California Press, 1971
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