J-homomorfismo

El homomorfismo J es un homomorfismo de grupos homotópicos de grupos ortogonales especiales a grupos homotópicos de esferas . Fue definido por George Whitehead como una generalización de una construcción de Heinz Hopf , quien construyó este homomorfismo para el caso. ${\ estilo de visualización \ pi _ {r} (\ mathrm {SO} (q))}$ ${\ estilo de visualización r = q + 1}$

Edificio

J-homomorfismo es un homomorfismo de grupos abelianos

J\colon \pi_{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi_{r+q}(\mathbb {S} ^{q}),

definida para todos los enteros . $r,q\geqslant 2$

Un elemento del grupo ortogonal especial se puede ver como un mapeo $\mathrm {SO} (q)$

\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.

Por lo tanto, los elementos de un grupo de homotopía están asociados con la clase de homotopía del mapeo ${\ estilo de visualización \ pi _ {r} (\ mathrm {SO} (q))}$

\mathbb {S} ^{r}\times \mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow \mathbb {S} ^{q-1}.

Aplicando la construcción de Hopf a esto se obtiene el mapeo

\mathbb {S} ^{r+q}=\mathbb {S} ^{r}*\mathbb {S} ^{q-1}\rightarrow S(\mathbb {S} ^{q-1 })=\matemáticas {S} ^{q},

cuya clase de homotopía es la imagen de este elemento bajo el J -homomorfismo.