Grupos de homotopía de esferas.

Los grupos homotópicos de esferas  son uno de los principales objetos de estudio en la teoría homotópica , un campo de la topología algebraica . Los grupos de homotopía de esferas clasifican mapeos entre esferas de dimensiones superiores hasta deformación continua . Los grupos homotópicos de esferas son objetos algebraicos discretos, es decir, grupos abelianos finitamente generados . Aunque la clasificación de los grupos abelianos finitamente generados es muy simple, la estructura exacta de los grupos homotópicos de esferas no se conoce por completo.

Encontrarlos fue una de las direcciones más importantes en el desarrollo de la topología y las matemáticas en general en las décadas de 1950 y 1960, hasta la creación de teorías de cohomología generalizada . [1] La razón de esto fue tanto el hecho de que los grupos homotópicos de esferas son invariantes topológicos básicos , cuya comprensión conduce a una mejor comprensión de los espacios topológicos en general, como la presencia de un gran número de regularidades complejas en su estructura. . El resultado fue tanto el hallazgo de algunas regularidades generales, como grupos estables de homotopía de esferas y el homomorfismo J , como el cálculo de grupos para valores de parámetros pequeños.

Introducción informal

Una esfera multidimensional de dimensión  es un espacio topológico , que se puede representar como un lugar geométrico de puntos de un espacio euclidiano bidimensional , alejado del origen de coordenadas a una distancia de 1. En particular,  es un círculo y  es un ordinario de dos esfera dimensional .

Si  es cualquier espacio topológico con un punto marcado , entonces su -ésimo grupo de homotopía  es el conjunto de mapeos de a a , considerados hasta homotopías , es decir, perturbaciones continuas, que, además, deben conservar el punto marcado. En particular,  es el grupo fundamental , es decir, el grupo de caminos cerrados en un espacio topológico con la operación de composición . En el caso multidimensional, este conjunto también puede estar dotado de una estructura de grupo, mientras que, a diferencia del grupo fundamental, para el grupo será conmutativo .

Cualquier mapeo de una esfera de menor dimensión a una esfera de mayor dimensión se puede contraer a un punto, por lo que los grupos en . Ahora bien, ya el grupo fundamental del círculo es un grupo cíclico infinito . Sus elementos, es decir, mapeos desde el círculo dentro de sí mismo hasta la homotopía, se definen únicamente por el número de revoluciones de la imagen del círculo alrededor de su centro, y al componer caminos, se suman los números de revoluciones. Como en el caso unidimensional, el grupo homotópico de mapeos desde la esfera bidimensional hacia sí mismo es infinitamente cíclico. Sin embargo, la estructura del grupo no es intuitivamente obvia: es generada por la fibración de Hopf .

Valores pequeños

1 _ π 2 π 3 π 4 5 _ π6 _ 7 _ π 8 π9 _ 10 _ 11 _ 12 _ 13 _ 14 _ 15 _ pi 16
S1 _ Z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
S2 _ 0 Z Z Z2 _ Z2 _ Z12 _ Z2 _ Z2 _ Z3 _ Z15 _ Z2 _ Z 2 2 Z 12 × Z 2 Z 84 × Z 2 2 Z 2 2 Z6 _
S3 _ 0 0 Z Z2 _ Z2 _ Z12 _ Z2 _ Z2 _ Z3 _ Z15 _ Z2 _ Z 2 2 Z 12 × Z 2 Z 84 × Z 2 2 Z 2 2 Z6 _
S4 _ 0 0 0 Z Z2 _ Z2 _ Z × Z 12 Z 2 2 Z 2 2 Z 24 × Z 3 Z15 _ Z2 _ Z 2 3 Z 120 × Z 12 × Z 2 Z 84 × Z 2 5 Z26 _ _
S5 _ 0 0 0 0 Z Z2 _ Z2 _ Z24 _ Z2 _ Z2 _ Z2 _ Z 30 Z2 _ Z 2 3 Z 72 × Z 2 Z 504 x Z 2 2
S6 _ 0 0 0 0 0 Z Z2 _ Z2 _ Z24 _ 0 Z Z2 _ Z60 _ Z 24 × Z 2 Z 2 3 Z 72 x Z 2
S7 _ 0 0 0 0 0 0 Z Z2 _ Z2 _ Z24 _ 0 0 Z2 _ Z 120 Z 2 3 Z 2 4
S8 _ 0 0 0 0 0 0 0 Z Z2 _ Z2 _ Z24 _ 0 0 Z2 _ Z × Z 120 Z 2 4

Notas

  1. ↑ DB Fuks. Grupos de homotopía de las esferas  (inglés) . Enciclopedia de Matemáticas. Consultado el 5 de noviembre de 2017. Archivado desde el original el 8 de noviembre de 2017.

Literatura