N-elipse

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Una N-elipse es una generalización de una elipse que tiene más de dos focos. [1] Las elipses N también se denominan elipses multifocales , [2] polielipses , [3] , elipses k , [4] elipses de Chirnhaus . James Maxwell estudió por primera vez tales figuras en 1846. [5]

Sean dados n puntos ( u i , v i ) ( focos ) en el plano, entonces la n -elipse es el lugar geométrico de los puntos en el plano para los cuales la suma de las distancias a n focos es una constante d . En forma de fórmula, este enunciado se escribe como

\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{ 2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\derecha\}.

1-elipse es un círculo , 2-elipse es una elipse ordinaria. Ambas curvas son curvas algebraicas de grado 2.

Para cualquier número n de focos , la n -elipse es una curva convexa cerrada . [2] :(p. 90) La curva es suave fuera del vecindario de enfoque. [4] :p.7

Una n -elipse es un subconjunto de puntos que satisfacen una cierta ecuación algebraica . [4] : 2 y 4; pags. 7 Si n es impar, el grado algebraico de la curva es , si n es par, el grado es . [4] :(T.1.1) $2^{n}$ $2^{n}-{\binom{n}{n/2))$

Notas

↑ J. Sekino (1999): " n -Elipses y el problema de la suma de la distancia mínima", American Mathematical Monthly 106 #3 (marzo de 1999), 193–202. MR : 1682340 ; .
↑ 1 2 Erdös, Paul; Vincze, István Sobre la aproximación de curvas planas convexas y cerradas mediante elipses multifocales (inglés) // Journal of Applied Probability: journal. - 1982. - vol. 19 _ - P. 89-96 . — . Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2016.
↑ ZA Melzak y JS Forsyth (1977): "Polyconics 1. polielipsis y optimización", Q. de Appl. Matemáticas. , páginas 239–255, 1977.
↑ 1 2 3 4 J. Nie, P. Parrilo, B. Sturmfels: " J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Representación semidefinida de la k-elipse", en Algorithms in Algebraic Geometry , IMA Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, Nueva York, 2008, págs. 117-132 Archivado el 10 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
↑ James Clerk Maxwell (1846): " Documento sobre la descripción de las curvas ovaladas Archivado el 3 de noviembre de 2021 en Wayback Machine , febrero de 1846, de The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846-1862

Literatura

P. L. Rosin: " Sobre la construcción de óvalos "
B. Sturmfels: " La geometría de la programación semidefinida ", pp. 9–16.