Geometría absoluta

La geometría absoluta (o geometría neutra ) es una parte de la geometría clásica, independiente del quinto postulado de la axiomática euclidiana (es decir, en geometría absoluta el quinto postulado puede o no cumplirse). La geometría absoluta contiene proposiciones que son comunes a la geometría euclidiana ya la geometría de Lobachevsky [1] [2] .

El término fue propuesto por Janos Bolyai en 1832 [3] . Es cierto que el mismo Bolyai le dio un significado ligeramente diferente: llamó geometría absoluta al simbolismo especialmente desarrollado por él, que hizo posible unir los teoremas de la geometría euclidiana y la geometría de Lobachevsky [4] en una fórmula .

Ejemplos de teoremas en geometría absoluta

Los primeros 28 teoremas de los " Principios " de Euclides se refieren a la geometría absoluta. Aquí hay algunos ejemplos más de tales teoremas [5] :

• Un triángulo isósceles tiene ángulos de base iguales.
• Un ángulo exterior de un triángulo es mayor que todos los ángulos interiores no adyacentes a él.
• Todo triángulo tiene al menos dos ángulos agudos.
• Cuando dos rectas se cortan , los ángulos verticales son iguales.
• Al mayor de los dos lados del triángulo se opone el ángulo mayor, y viceversa, el lado mayor se opone al lado mayor.
• La perpendicular (de un punto a una recta) es más corta que la oblicua.
• Cada lado del triángulo es menor que la suma y mayor que la diferencia de los otros dos lados.
• La suma de los ángulos de un triángulo no excede de 180°.

Teoremas no incluidos en la geometría absoluta

Las axiomáticas modernas de la geometría euclidiana (como la axiomática de Hilbert ) son completas , es decir, cualquier enunciado correcto de esta teoría puede probarse o refutarse. La geometría absoluta es incompleta: dado que el quinto postulado define las propiedades métricas de un espacio homogéneo , su ausencia en la geometría absoluta significa que la métrica del espacio no está definida, y la mayoría de los teoremas relacionados con la medición (como el teorema de Pitágoras o la suma triangular de ángulos teorema ) no se puede demostrar en geometría absoluta [6] .

Otros ejemplos de teoremas no incluidos en la geometría absoluta:

• Signos de semejanza de triángulos [6] .
• Numerosos equivalentes del postulado V [7]

Variaciones y generalizaciones

En la geometría absoluta , siempre existen líneas paralelas (véanse los teoremas 27 y 28 de los Elementos de Euclides , demostrados sin apoyarse en el quinto postulado), por lo que la geometría esférica , en la que no hay líneas paralelas, es incompatible con la geometría absoluta. Sin embargo, es posible construir una axiomática que reúna los tres tipos de geometrías no euclidianas (geometría euclidiana, esférica y de Lobachevsky) [8] , y luego se puede definir la geometría absoluta como su parte común. Esta nueva definición es más amplia que la anterior; por ejemplo, el teorema "la suma de los ángulos de un triángulo no excede los 180 °" deja de ser cierto.

Notas

1. ↑ Geometría absoluta // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1977. - T. 1. - S. 34.
2. ↑ Geometría superior, 1971 , p. 88--89.
3. ↑ Bolai J. Apéndice Copia de archivo fechada el 21 de abril de 2013 en Wayback Machine // On the Foundations of Geometry (colección de artículos), M., GITTL, 1956. Serie "Classics of Natural Science".
4. ↑ Matemáticas del siglo XIX. Volumen II: Geometría. Teoría de las Funciones Analíticas / Ed. Kolmogorova A. N. , Yushkevich A. P. . - M. : Nauka, 1981. - S. 64-65. — 270 s.
5. ↑ Geometría superior, 1971 , p. 14, 67 y siguientes, 89.
6. ↑ 1 2 school-collection.edu.ru .
7. ↑ Ver por ejemplo: Gunter Ewald . Geometría: una introducción. Editorial Wadsworth. 1er. 1971, 399 páginas. ISBN 0534000347 .
8. ↑ Peil, Timothy. Axiomas de Hilbert modificados para geometría elíptica plana  . // Levantamiento de Geometría . Consultado el 18 de octubre de 2016. Archivado desde el original el 19 de octubre de 2016.

Literatura

• Hilbert D. Fundamentos de Geometría. - M. - L. : GITTL, 1948. - 492 p. - (Clásicos de las ciencias naturales. Matemáticas, mecánica, física, astronomía).
• Efimov N. V. Geometría superior. - 7ª ed. — M .: Fizmatlit, 1971.
  • Reedición: 2004, Editorial Fizmatlit, ISBN 5-9221-0267-2 .

Enlaces

• Geometría absoluta . - en el portal federal School-collection.edu.ru. Recuperado: 9 de noviembre de 2018. (indefinido)

En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4193046-0