Perpendicularidad (del lat. perpendicularis - literalmente plomada) [1] - una relación binaria entre diferentes objetos ( vectores , líneas , subespacios , etc.).
Existe un símbolo generalmente aceptado para la perpendicularidad: ⊥, propuesto en 1634 por el matemático francés Pierre Erigon . Por ejemplo, la perpendicularidad de las líneas y se escribe como .
Dos líneas rectas en un plano se llaman perpendiculares si forman 4 ángulos rectos cuando se cortan .
De una recta perpendicular a otra recta trazada por un punto fuera de la recta , se dice que hay una perpendicular caída de a . Si el punto está en la línea , entonces se dice que hay una perpendicular a restaurada desde a (el término obsoleto restaurado [2] ).
En coordenadasEn una expresión analítica, rectas dadas por funciones lineales
y
serán perpendiculares si se cumple la siguiente condición en sus pendientes
Paso 1: Usando un compás, dibuja un semicírculo con centro en el punto P , obteniendo los puntos A y B.
Paso 2: Sin cambiar el radio, construya dos semicírculos centrados en los puntos A y B , respectivamente, que pasen por el punto P. Además del punto P , existe otro punto de intersección de estos semicírculos, llamémoslo Q .
Paso 3: Conecta los puntos P y Q. PQ es la perpendicular a la línea AB .
Sea la recta dada por los puntos y . Una perpendicular desciende del punto a la recta . Entonces la base de la perpendicular se puede encontrar de la siguiente manera.
Si (vertical), entonces y . Si (horizontal), entonces y .
En todos los otros casos:
; .Dos líneas en el espacio son perpendiculares entre sí si son respectivamente paralelas a otras dos líneas mutuamente perpendiculares que se encuentran en el mismo plano. Dos líneas que se encuentran en el mismo plano se llaman perpendiculares (o mutuamente perpendiculares) si forman cuatro ángulos rectos.
Definición : Una línea se llama perpendicular a un plano si es perpendicular a todas las líneas que se encuentran en este plano.
Signo : Si una recta es perpendicular a dos rectas de un plano que se cortan, entonces es perpendicular a este plano.
Un plano perpendicular a una de dos líneas paralelas también es perpendicular a la otra. Por cualquier punto del espacio pasa una recta perpendicular a un plano dado, y además una sola.
Se dice que dos planos son perpendiculares si el ángulo diedro entre ellos es de 90°.
La perpendicularidad de los planos en el espacio de cuatro dimensiones tiene dos significados: los planos pueden ser perpendiculares en el sentido tridimensional si se intersecan en línea recta (y por lo tanto se encuentran en el mismo hiperplano ), y el ángulo diedro entre ellos es de 90°.
Los planos también pueden ser perpendiculares en el sentido de 4 dimensiones si se intersecan en un punto (y por lo tanto no se encuentran en el mismo hiperplano), y 2 líneas dibujadas en estos planos a través de su punto de intersección (cada línea en su propio plano) son perpendicular.
En el espacio de 4 dimensiones, exactamente 2 planos mutuamente perpendiculares en el sentido de 4 dimensiones se pueden dibujar a través de un punto dado (por lo tanto, el espacio euclidiano de 4 dimensiones se puede representar como un producto cartesiano de dos planos). Si combinamos ambos tipos de perpendicularidad, entonces a través de este punto es posible trazar 6 planos mutuamente perpendiculares (perpendiculares en cualquiera de los dos valores anteriores).
La existencia de seis planos perpendiculares entre sí se puede explicar con el siguiente ejemplo. Sea el sistema de coordenadas cartesianas x yzt dado . Para cada par de líneas de coordenadas, hay un plano que incluye estas dos líneas. El número de tales pares es : xy , xz , xt , yz , yt , zt , y corresponden a 6 planos. Los de estos planos que incluyen el eje del mismo nombre son perpendiculares en el sentido tridimensional y se cortan en línea recta (por ejemplo, xy y xz , yz y zt ), y los que no incluyen los ejes del mismo son perpendiculares en el sentido de 4 dimensiones y se intersecan en un punto (por ejemplo, xy y zt , yz y xt ).
Sea dado un espacio euclidiano de n dimensiones (n>2) y el espacio vectorial asociado a él , y la línea l con el espacio vectorial guía y el hiperplano con el espacio vectorial guía (donde , ) pertenecen al espacio .
La línea l se llama perpendicular al hiperplano si el subespacio es ortogonal al subespacio , es decir