Invariante adiabático

Un invariante adiabático es una cantidad física que no cambia con un cambio suave en algunos parámetros de un sistema físico , de modo que el tiempo característico de este cambio es mucho más largo que el tiempo característico de los procesos que ocurren en el sistema mismo [1] .

Origen del término

El proceso adiabático originalmente significaba un proceso sin intercambio de calor con el medio ambiente. El nombre surgió del término "capa adiabática" ( otro griego ἀδιάβατος - "impenetrable"), una capa que no permite el paso del calor.

Pero a mediados del siglo XX, algunos científicos (en particular, L. D. Landau ) comenzaron a llamar a esto un proceso que pasa por estados prácticamente de equilibrio, es decir, bastante lento y sin problemas. Ahora tal proceso se llama cuasi-estático o equilibrio. Históricamente, el nombre "invariante adiabático" apareció por analogía con dicho proceso termodinámico.

En la actualidad, la palabra "adiabático" se usa nuevamente en su significado original ("proceso sin intercambio de calor con el medio"), pero el término "invariante adiabático" ya se ha establecido.

Mecánica clásica

En un sistema mecánico clásico que realiza un movimiento periódico con un período y depende del parámetro , la adiabaticidad del cambio de parámetro está determinada por la condición $T$ $\lambda$

T{\frac {d\lambda}{dt}}\ll\lambda

La función de Hamilton del sistema depende de sus variables internas y del parámetro

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t,\lambda)

Las variables internas y cambian rápidamente con el tiempo, con un período de . Pero la energía del sistema es la integral de movimiento con el parámetro constante . Cuando el parámetro cambia con el tiempo $q$ $pags$ $T$ $mi$ $\lambda$

{\frac {dE}{dt))={\frac {\parcial {\mathcal {H))}{\parcial \lambda )){\frac {d\lambda}{dt))

Cuando esta expresión se promedia a lo largo del tiempo durante un período, podemos suponer que el parámetro no cambia. $\lambda$

{\overline {\frac {dE}{dt))}={\frac {d\lambda}}{dt)){\overline {\frac {\parcial {\mathcal {H))}{\parcial \ lambda }}}

donde el promedio se define como

{\overline {\frac {\parcial {\mathcal {H))}{\parcial \lambda ))}={\frac {1}{T))\int \limits_{0}^{T }{\frac {\parcial {\mathcal {H))}{\parcial \lambda ))\,dt

Es conveniente pasar de la integración en el tiempo a la integración en una variable : $q$

dt={\frac {dq}{\parcial {\mathcal {H}}/\parcial p}}

En este caso, el período es $T$

T=\oint {\frac {dq}{\parcial {\mathcal {H))/\parcial p))

donde la integración se lleva a cabo hacia adelante y hacia atrás dentro del cambio de coordenadas durante el período de movimiento.

Escribiendo el momento en función de la energía , la coordenada y el parámetro, después de algunas transformaciones se puede obtener $mi$ $q$

\oint \left({\frac {\parcial p}{\parcial E)){\overline {\frac {\parcial E}{\parcial t))}+{\frac {\parcial p}{ \lambda parcial}}{\frac {d\lambda}{dt}}\right)\,dq=0

Finalmente, puedes escribir

{\overline {\frac {dI}{dt))}=0

donde el valor

I={\frac {1}{2\pi }}\oint p\,dq

y será un invariante adiabático.

La integral incluida en la expresión resultante adquiere un significado geométrico simple si nos dirigimos al concepto de espacio de fase y la trayectoria de fase del sistema en él. En el caso que nos ocupa, el sistema tiene un grado de libertad , por lo que el espacio fase es un plano fase formado por un conjunto de puntos de coordenadas y . Dado que el sistema realiza un movimiento periódico , su trayectoria de fase [2] es una curva cerrada en este plano, respectivamente, la integral se toma a lo largo de esta curva cerrada. Como resultado, se deduce que la integral es igual al área de la figura delimitada por la trayectoria de fase del sistema. $pags$ $q$ $\oint p\,dq$

El área también se puede expresar como una integral bidimensional, entonces para el invariante adiabático,

I={\frac {1}{2\pi }}\int dp\,dq

Ejemplo. Oscilador armónico

Considere, como ejemplo, un oscilador armónico unidimensional . La función de Hamilton de tal oscilador tiene la forma

H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}

donde es la frecuencia natural (cíclica) del oscilador. La ecuación de trayectoria de fase en este caso está determinada por la ley de conservación de energía y por lo tanto tiene la forma $\omega$ ${\ Displaystyle H (p, q) = E}$

{\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2}}=E

De la ecuación se puede ver que la trayectoria es una elipse con semiejes y , en consecuencia, su área, dividida por , es igual a . Por lo tanto, la cantidad es un invariante adiabático para un oscilador armónico. De ello se deduce que en los casos en que los parámetros del oscilador cambian lentamente, su energía cambia en proporción a la frecuencia. ${\sqrt {2mE))$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2E/m\omega ^{2}}}}$ $2\pi$ ${\frac {E}{\omega ))$ $I={\frac {E}{\omega ))$

Propiedades del invariante adiabático

La derivada de energía del invariante adiabático es igual al período dividido por . $2\pi$

2\pi {\frac {\parcial I}{\parcial E))=T

{\frac {\parcial E}{\parcial I))=\omega

donde es la frecuencia cíclica. $\omega$

Con la ayuda de transformaciones canónicas , se puede hacer un invariante adiabático de una nueva variable, que se llama variable de acción. En el nuevo sistema de variables, juega el papel de impulso . La variable conjugada a ella canónicamente se llama la variable angular .

Notas

↑ Dykhne A. M. Invariantes adiabáticos // Enciclopedia física / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Enciclopedia soviética , 1988. - T. 1. Efecto Aharonov-Bohm - Líneas largas. - T. 26. - 704 pág. — 100.000 copias.
↑ Trayectoria de fase: un conjunto de puntos con coordenadas iguales a los valores que toman los valores y en el proceso de movimiento del sistema. $pags$ $q$

Literatura

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mecánica. - 4ª edición, revisada. — M .: Nauka , 1988 . - S. 199-202. — 215 págs. — (“Física Teórica”, tomo I). — ISBN 5-02-013850-9 .
Kotelnikov IA Conferencias sobre física del plasma. Volumen 1: Fundamentos de Física del Plasma. - 3ra ed. - San Petersburgo. : Lan , 2021. - 400 p. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .