Teoría de números algebraicos

La teoría algebraica de números es una rama de la teoría de números cuya tarea principal es estudiar las propiedades de los elementos enteros de los campos numéricos .

En la teoría algebraica de números, el concepto de número se amplía y las raíces de polinomios con coeficientes racionales se consideran números algebraicos. En este caso, los números algebraicos enteros , es decir, las raíces de polinomios unitarios con coeficientes enteros , actúan como un análogo de los números enteros . A diferencia de los números enteros , la propiedad factorial , es decir, la unicidad de la factorización en factores primos, no se cumple necesariamente en el anillo de los números algebraicos enteros.

La teoría de los números algebraicos debe su aparición al estudio de las ecuaciones diofánticas , incluidos los intentos de demostrar el último teorema de Fermat . Kummer posee la igualdad

x^{n}=z^{n}-y^{n}=\prod _{{i=1}}^{{n}}(z-a_{i}y)

, donde están las raíces del grado de unidad.

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norte

Así, Kummer definió nuevos enteros de la forma . Más tarde, Liouville demostró que si un número algebraico es raíz de una ecuación de grado , entonces no se puede acercar más que por , acercándose por fracciones de la forma , donde y son números enteros coprimos [1] . $z+a_{i}y$ $norte$ $P^{{-n}}$ $P/P$ $PAGS$ $q$

Después de la definición de números algebraicos y trascendentales en la teoría algebraica de números, se destacó una dirección que se ocupa de la prueba de la trascendencia de números específicos, y una dirección que se ocupa de los números algebraicos y estudia el grado de su aproximación por parte de los racionales y algebraicos. [1] .

La teoría algebraica de números incluye temas como la teoría del divisor , la teoría de Galois , la teoría del campo de clases , las funciones zeta y L de Dirichlet , la cohomología de grupos y mucho más.

Uno de los trucos principales es incrustar el campo de los números algebraicos en su terminación de acuerdo con algunas de las métricas: arquimedianas (por ejemplo, en el campo de los números reales o complejos) o no arquimedianas (por ejemplo, en el campo de p -números ádicos ).

Notas

↑ 1 2 Teoría de números // Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : Enciclopedia soviética, 1969-1978.

Literatura

I. M. Vinogradov . Teoría algebraica de números // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética. - 1977-1985. (Ruso)// Enciclopedia Matemática. — M.: Enciclopedia soviética. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

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En catálogos bibliográficos	J9U : 987007293932305171 LCCN : sh85003436 NKC : ph114161