La función zeta de Riemann es una función de variable compleja , en , definida mediante la serie de Dirichlet :
En el semiplano complejo esta serie converge , es función analítica de y admite una continuación analítica de todo el plano complejo , excepto el punto singular .
La función zeta de Riemann juega un papel muy importante en la teoría analítica de números , tiene aplicaciones en física teórica , estadística y teoría de probabilidades .
En particular, si ni la hipótesis de Riemann probada ni la refutada sobre la posición de todos los ceros no triviales de la función zeta en el plano complejo directo han sido probadas o refutadas hasta ahora , entonces muchos teoremas de números primos importantes basados en la hipótesis de Riemann en el la prueba será verdadera o falsa.
La representación como producto infinito también es válida en el dominio ( identidad de Euler )
PruebaLa idea de la prueba utiliza solo álgebra simple, accesible para un colegial diligente. Euler originalmente derivó la fórmula de esta manera. Hay una propiedad del tamiz de Eratóstenes de la que nos podemos beneficiar:
Al restar el segundo del primero, eliminamos todos los elementos con un divisor de 2:
Repita para lo siguiente:
Restamos de nuevo, obtenemos:
donde se eliminan todos los elementos con divisores 2 y/o 3.
Como puede ver, el lado derecho se tamiza a través de un tamiz. Repitiendo infinitamente, obtenemos:
Dividimos ambos lados por todo excepto , obtenemos:
que se puede escribir más corto como un producto infinito sobre todos los números primos p :
Para hacer la prueba rigurosa, solo es necesario exigir que, cuando , el lado derecho tamizado se acerque a 1, que se sigue inmediatamente de la convergencia de la serie de Dirichlet para .
Esta igualdad es una de las principales propiedades de la función zeta.
válido para , también seguirá siendo cierto para todos , excepto para aquellos para los cuales (estas son las raíces triviales de la función zeta ). A partir de esto, se pueden obtener las siguientes fórmulas para :
Como se deduce de la ecuación funcional de Riemann, en el semiplano la función tiene solo ceros simples en los puntos pares negativos: . Estos ceros se llaman los ceros "triviales" de la función zeta. Además, de verdad . Por lo tanto, todos los ceros "no triviales" de la función zeta son números complejos. Además, tienen la propiedad de simetría con respecto al eje real y con respecto a la vertical y se encuentran en una banda denominada banda crítica . De acuerdo con la hipótesis de Riemann , todos están en la línea crítica .
De la fórmula , donde está el número de Bernoulli , obtenemos eso .
Otras representaciones de filasA continuación se muestran otras series cuya suma es [3] :
También existen representaciones para la forma de la fórmula de Bailey-Borwain-Pluff , que permiten en algunos sistemas numéricos calcular el signo th de su registro sin calcular los anteriores [3] :
Representaciones integralesA continuación se presentan fórmulas para involucrar integrales obtenidas usando la función zeta de Riemann [4] [5] [6] :
Fracciones continuasAlgunas de las representaciones de fracciones continuas se obtuvieron en relación con representaciones similares para la constante de Apéry , lo que permitió probar su irracionalidad.
[7] [7] [ocho] [9]Una de las representaciones más cortas es , obtenemos eso , donde está la función poligamma .
Fracciones continuasLa fracción continua de la constante de Apéry (secuencia A013631 en OEIS ) es la siguiente:
La primera fracción continua generalizada para la constante de Apéry, que tiene una regularidad, fue descubierta de forma independiente por Stieltjes y Ramanujan :
Se puede convertir a:
Aperi pudo acelerar la convergencia de la fracción continua para una constante:
[10] [9]De la fórmula , donde está el número de Bernoulli , obtenemos eso .
Una de las representaciones más cortas es , obtenemos eso , donde está la función poligamma .
Hay un número bastante grande de funciones especiales asociadas con la función zeta de Riemann, que están unidas por el nombre común de la función zeta y son sus generalizaciones. Por ejemplo:
lo cual coincide con la función zeta de Riemann para q = 1 (porque la suma parte de 0, no de 1). que es lo mismo que la función zeta de Riemann en z = 1.En la teoría de las integrales de trayectoria de Gauss, surge el problema de la regularización de los determinantes . Una de las aproximaciones a su solución es la introducción de la función zeta del operador [11] . Sea un operador autoadjunto definido no negativamente , que tiene un espectro puramente discreto . Además, existe un número real tal que el operador tiene un rastro . Luego, la función zeta del operador se define para un número complejo arbitrario que se encuentra en el semiplano y se puede dar mediante una serie convergente
Si la función así definida admite una continuación analítica en un dominio que contiene alguna vecindad del punto , entonces a partir de ella es posible determinar el determinante regularizado del operador de acuerdo con la fórmula
Como función de una variable real, la función zeta fue introducida en 1737 por Euler , quien indicó su descomposición en un producto. Luego, esta función fue considerada por Dirichlet y, con especial éxito, por Chebyshev al estudiar la ley de distribución de los números primos. Sin embargo, las propiedades más profundas de la función zeta se descubrieron más tarde, tras el trabajo de Riemann (1859), donde se consideraba a la función zeta como una función de variable compleja.