Función aritmética

Una función aritmética es una función definida sobre el conjunto de los números naturales y tomando valores del conjunto de los números complejos . $\matemáticas {N}$ $\matemáticas {C}$

Definición

Como se desprende de la definición, una función aritmética es cualquier función

f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}

El nombre de función aritmética se debe a que en teoría de números existen muchas funciones de un argumento natural que expresan ciertas propiedades aritméticas . Por lo tanto, informalmente hablando, una función aritmética se entiende como una función que "expresa alguna propiedad aritmética" de un número natural (ver ejemplos de funciones aritméticas a continuación ). $f(n)$ $norte$ $f(n)$ $norte$

Muchas funciones aritméticas consideradas en la teoría de números son, de hecho, de valor entero.

Operaciones y conceptos relacionados

La suma de una función aritmética es una función definida como $F$ $F:[0,+\infty )\to \mathbb {C}$

F(x)=\sum _{n\leq x}f(n).

Esta operación es el "análogo discreto" de la integral indefinida; en este caso, aunque la función original estaba definida sólo sobre , resulta conveniente considerar su suma como definida sobre todo el semieje positivo (y, por supuesto, es constante a trozos). $\matemáticas {N}$

La convolución de Dirichlet de dos funciones aritméticas f y g es la función aritmética h definida por la regla

h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).

Una función aritmética f se puede asociar con su "función generadora": la serie de Dirichlet

\Phi _{f}(s)=\sum _{n}f(n)n^{-s}.

En este caso, la convolución de Dirichlet de dos funciones aritméticas corresponde al producto de sus funciones generadoras.

Multiplicación puntual por logaritmo,

f\mapsto f',\quad f'(n)=f(n)\cdot \ln n,

es una derivación del álgebra de funciones aritméticas: con respecto a la convolución cumple la regla de Leibniz,

{\ estilo de visualización (f*g)'=f'*g+f*g'.}

Pasar a la función generadora convierte esta operación en diferenciación ordinaria.

Funciones aritméticas notables

Número de divisores

Una función aritmética se define como el número de divisores positivos de un número natural : $\tau \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $norte$

{\ estilo de visualización \ tau (n) = \ suma _ {d | n} 1}

Si y son coprimos , entonces cada divisor de un producto se puede representar de forma única como un producto de divisores y divisores de y viceversa, cada uno de esos productos es un divisor de . De ello se deduce que la función es multiplicativa : $metro$ $norte$ $Minnesota$ $metro$ $norte$ $Minnesota$ $\tau$

{\ estilo de visualización \ tau (mn) = \ tau (m) \ tau (n)}

Si es la descomposición canónica de lo natural , entonces debido a la multiplicatividad $n=\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $norte$

\tau (n)=\tau (p_{1}^{s_{1)))\tau (p_{2}^{s_{2)))\ldots \tau (p_{r}^{ s_{r)))

Como los divisores positivos de un número son números , entonces $p_{i}^{s_{i))$ ${\ estilo de visualización s_ {i} +1}$ $1,p_{i},\ldots,p_{i}^{s_{i))$

\tau (n)=(s_{1}+1)(s_{2}+1)\ldots (s_{r}+1)

El número de divisores de un entero grande n crece en promedio como [1] . Más precisamente, véase la fórmula de Dirichlet . ${\ estilo de visualización \ ln n}$

La suma de los divisores

La función se define como la suma de los divisores de un número natural : $\sigma \colon \mathbb {N} \a \mathbb {N}$ $norte$

{\ estilo de visualización \ sigma (n) = \ suma _ {d | n} d}

Generalizando las funciones y para un complejo arbitrario, generalmente hablando , se puede determinar - la suma de las -ésimas potencias de divisores positivos de un número natural : $\tau (n)$ $\sigma(n)$ $k$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {k} (n)}$ $k$ $norte$

{\displaystyle \sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k))

Usando la notación de Iverson , uno puede escribir

\sigma _{k}(n)=\sum _{d}d^{k}[\,d|n\,]

La función es multiplicativa: ${\ estilo de visualización \ sigma _ {k}}$

m\perp n\Rightarrow ~\sigma_{k}(mn)=\sigma_{k}(m)\sigma_{k}(n)

Si es la descomposición canónica de lo natural , entonces $n=\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $norte$

\sigma_{k}(n)=\prod_{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(s_{i}+1)k}-1}{p_ {i}^{k}-1}}

La suma de los divisores de n crece en promedio como una función lineal de cn, donde la constante c encontrada por Euler es [1] . $c=\zeta (2)=\pi^{2}/6$

Función de Euler

La función de Euler , o totient , se define como el número de números enteros positivos que no exceden de coprimos a . $\varfi (n)$ $norte$ $norte$

Usando la notación de Iverson , uno puede escribir:

\varphi (n)=\sum _{1\leq k\leq n}[k\perp n]

La función de Euler es multiplicativa:

m\perp n\Rightarrow ~\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)

De forma explícita, el valor de la función de Euler se expresa mediante la fórmula:

\varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\ derecha)\puntos \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\derecha)

donde son diferentes divisores primos . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots,p_{r))$ $norte$

Función de Möbius

La función de Möbius se puede definir como una función aritmética que satisface la siguiente relación: $\mu(n)$

\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{casos}1,&n=1\\0,&n>1\end{casos))

Es decir, la suma de los valores de la función de Möbius sobre todos los divisores de un entero positivo es igual a cero si , y es igual a si . $norte$ $n>1$ $una$ $n=1$

Se puede demostrar que solo una función satisface esta ecuación, y se puede dar explícitamente mediante la siguiente fórmula:

\mu (n)={\begin{casos}(-1)^{r},&n=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}\\0,&p^{2}| n\\1,&n=1\end{casos}}

Aquí , son varios números primos, y es un número primo. En otras palabras, la función de Möbius es igual si no es libre de cuadrados (es decir, divisible por el cuadrado de un número primo), e igual en caso contrario (se elige más o menos dependiendo de la paridad del número de divisores primos ). $Pi}$ $pags$ $\mu(n)$ ${\ estilo de visualización 0}$ $norte$ $\pm 1$ $norte$

La función de Möbius es una función multiplicativa . La importancia de la función de Möbius en la teoría de números se debe a la fórmula de inversión de Möbius .

Notas

↑ 1 2 V. y Arnold. Dinámica, estadística y geometría proyectiva de campos de Galois. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 p.

Véase también

Función multiplicativa

Literatura

Vinogradov I.M. Fundamentos de la teoría de números . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.
Nesterenko Yu. V. Teoría de números: un libro de texto para estudiantes. más alto libro de texto establecimientos - M. : Centro Editorial "Academia", 2008. - 272 p. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
Chandrasekharan K. Introducción a la teoría analítica de números = Introducción a la teoría analítica de números. - M. : "Mir", 1974. - 188 p.