Transformada wavelet

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La transformada wavelet ( transformada wavelet inglesa ) es una transformada integral , que es una convolución de una función wavelet con una señal. La transformada wavelet transforma la señal de tiempo a representación de tiempo-frecuencia .

Un método para convertir una función (o señal) en una forma que hace que algunos de los valores de la señal original sean más fáciles de estudiar o comprime el conjunto de datos original. La transformación de la señal wavelet es una generalización del análisis espectral. El término ( inglés wavelet ) en traducción del inglés significa "pequeña onda". Wavelets es un nombre generalizado para funciones matemáticas de cierta forma, que son locales en tiempo y frecuencia, y en las que todas las funciones se obtienen a partir de una base, cambiándola (desplazamiento, estiramiento).

Requisitos para wavelets

Para implementar la transformada wavelet, las funciones wavelet deben satisfacer los siguientes criterios [1] :

1. La wavelet debe tener una energía finita: $\psi (t)$

$E=\int \limits_{{-\infty}}^{{\infty}}{|\psi (t)|}^{2}\,dt<\infty$

2. Si la transformada de Fourier para la wavelet , eso es ${\sombrero {\psi ))(f)$ $\psi (t)$

${\sombrero {\psi}}(f)=\int \limits_{{-\infty}}^({\infty}}\psi (t)e^{{-i(2\pi f)t} }\,dt$

entonces debe cumplirse la siguiente condición:

$C_{{\psi }}=\int \limits_{{0}}^({\infty}}{\frac {{|{\hat {\psi }}(f)|}^{2}}{ f}}\,df<\infty$

Esta condición se denomina condición de admisibilidad, y de ella se deduce que la ondícula con componente de frecuencia cero debe satisfacer la condición o, en otro caso, la ondícula debe tener una media igual a cero. ${\sombrero {\psi))(0)=0$ $\psi (t)$

3. Se presenta un criterio adicional para ondículas complejas, a saber, que para ellas la transformada de Fourier debe ser simultáneamente real y decreciente para frecuencias negativas.

4. Localización: la wavelet debe ser continua, integrable, tener un soporte compacto y estar localizada tanto en el tiempo (en el espacio) como en la frecuencia. Si la ondícula se estrecha en el espacio, su frecuencia media aumenta, el espectro de la ondícula se mueve a la región de frecuencias más altas y se expande. Este proceso debería ser lineal: estrechar la ondícula a la mitad debería aumentar su frecuencia media y su anchura espectral también por un factor de dos.

Propiedades de la transformada wavelet

1. Linealidad

${\text{WT}}[\alpha s_{1}(t)+\beta s_{2}(t)]=\alpha \,{\text{WT}}[s_{1}(t)]+ \beta \,{\text{WT}}[s_{2}(t)]$

2. Invariancia de corte

${\text{WT}}[s(t-t_{0})]=C(a,b-t_{0})$

El desplazamiento de la señal en el tiempo por t 0 conduce a un desplazamiento del espectro wavelet también por t 0 .

3. Invarianza bajo escala

${\text{WT}}{\biggl [}s{\biggl (}{\frac t{a_{0}}}{\biggr )}{\biggr ]}={\frac 1{a_{0}} }C{\biggl (}{\frac a{a_{0}}},\,{\frac b{a_{0}}}{\biggr )}$

El estiramiento (compresión) de la señal conduce a la compresión (estiramiento) del espectro de ondículas de la señal.

4. Diferenciación

${\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{\text{WT}}[s(t)]={\text{WT}}{\biggl [}{\frac {d^ {n}s(t)}{dt^{n))}{\biggr]},\quad {\text{WT)){\biggl [}{\frac {d^{n}s(t)} {dt^{n))}{\biggr ]}=(-1)^{n}\!\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}s(t){\frac {d^{n}\psi(t)}{dt^{n}}}\,dt$

De esto se deduce que no importa diferenciar la función o la wavelet de análisis. Si la wavelet de análisis viene dada por una fórmula, entonces puede ser muy útil para el análisis de señales. Esta propiedad es especialmente útil si la señal se da como una serie discreta.

Transformada wavelet continua

La transformada wavelet para una señal continua con respecto a la función wavelet se define de la siguiente manera[1]:

$T(a,b)={\frac {1}{{\sqrt {a))))\int \limits_{{-\infty}}^{{\infty}}x(t)\psi ^{ *}\left({\frac {tb}{a}}\right)\,dt$

donde significa el complejo conjugado de , el parámetro corresponde al cambio de tiempo y se denomina parámetro de posición, el parámetro especifica la escala y se denomina parámetro de extensión. ${\psi}^{*}$ $\psi$ $b\en R$ $a>0$

$w(a)\equiv {\frac {1}{{\sqrt {a))))$ es la función de peso.

Podemos definir una función normalizada de la siguiente manera

${\psi }_{{a,b}}={\frac {1}{{\sqrt {a}}}}{\psi }\left({\frac {tb}{a}}\right)$

lo que significa cambio de tiempo por b y escalamiento de tiempo por a . Entonces la fórmula de la transformada wavelet cambiará a

$T(a,b)=\int \limits_{{-\infty}}^{{\infty}}x(t)\,\psi_{{a,b}}^{*}\,dt$

La señal original se puede restaurar usando la fórmula de transformación inversa

$x(t)={\frac {1}{C_{{\psi }}}}\int \limits_{{-\infty}}^({\infty }}\int \limits_{{-\infty }}^{{\infty }}T(a,b)\,{\psi }_{{a,b}}(t)\,da\,db$

Transformada wavelet discreta

En el caso discreto, los parámetros de escala a y el desplazamiento b están representados por valores discretos:

$a=a_{0}^{m},\quad b=nb_{0}$

Entonces la ondícula de análisis tiene la siguiente forma:

$\psi _{{m,n}}=a_{0}^{{-m/2}}\psi \left({\frac {t-nb_{0}}{a_{0}^{m}} }\Correcto)$

donde m y n son números enteros.

En este caso, para una señal continua, la transformada wavelet discreta y su transformada inversa se escriben mediante las siguientes fórmulas:

$T_{{m,n}}=\int \limits_{{-\infty }}^{{\infty }}x(t)\,\psi_{{m,n}}^{*}(t )\,dt$

Las cantidades también se conocen como coeficientes wavelet. $T_{{m, n}}$

$x(t)=K_{{\psi }}\sum \limits _{{m=-\infty }}^{{\infty }}\sum \limits_{{n=-\infty }}^{{ \infty }}T_{{m,n}}\psi _{{m,n}}(t)$

donde es la constante de normalización. $K_{{\psi ))$

Representación gráfica

Aplicación

La transformada wavelet es ampliamente utilizada para el análisis de señales. Además, encuentra una gran aplicación en el campo de la compresión de datos. En la transformada wavelet discreta, la información más significativa de la señal está contenida en amplitudes altas, y la información menos útil está contenida en amplitudes bajas. La compresión de datos se puede obtener descartando amplitudes bajas. La transformada wavelet permite obtener una alta relación de compresión en combinación con una buena calidad de la señal reconstruida. La transformada wavelet fue elegida para los estándares de compresión de imágenes JPEG2000 e ICER . Sin embargo, con compresiones bajas, la transformada wavelet tiene una calidad inferior en comparación con la transformada de Fourier con ventana , que subyace en el estándar JPEG.

La elección de un tipo específico y un tipo de wavelets depende en gran medida de las señales analizadas y las tareas de análisis. Para obtener algoritmos de transformación óptimos, se han desarrollado ciertos criterios, pero aún no pueden considerarse definitivos, ya que son internos a los propios algoritmos de transformación y, por regla general, no tienen en cuenta criterios externos relacionados con las señales y los objetivos de sus transformaciones. De ello se deduce que en el uso práctico de wavelets, es necesario prestar suficiente atención a la comprobación de su rendimiento y eficiencia para los objetivos establecidos en comparación con los métodos conocidos de procesamiento y análisis.

Ventajas y desventajas

ventajas:

Las transformadas Wavelet tienen todas las ventajas de las transformadas de Fourier.
Las bases de ondículas pueden estar bien localizadas tanto en frecuencia como en tiempo. Cuando se separan procesos multiescala bien localizados en señales, solo se pueden considerar los niveles de escala de descomposición que son de interés.
Las wavelets base se pueden implementar mediante funciones de diferente suavidad.

Defectos:

Se puede señalar un inconveniente: esta es la complejidad relativa de la transformación.

Notas

↑ Addison PS El manual ilustrado de la transformada wavelet. — OIO, 2002.