Paquete de vectores

Un paquete vectorial es una construcción geométrica específica correspondiente a una familia de espacios vectoriales parametrizados por otro espacio (por ejemplo, puede ser un espacio topológico , una variedad o una estructura algebraica ): cada punto del espacio está asociado con un espacio vectorial para que su unión forme un espacio del mismo tipo que (espacio topológico, variedad o estructura algebraica, etc.), llamado espacio de un paquete vectorial . El espacio mismo se llama la base del haz . $X$ $X$ $X$ $X$ $V_{x}$ $X$ $X$ $X$

Un paquete vectorial es un tipo especial de paquetes localmente triviales , que a su vez son un tipo especial de paquetes .

Por lo general, uno considera espacios vectoriales sobre números reales o complejos . En este caso, los paquetes vectoriales se denominan reales o complejos, respectivamente. Los paquetes de vectores complejos se pueden considerar reales con una estructura adicional.

Ejemplos

El ejemplo más simple es un paquete trivial , que tiene la forma de un producto directo , donde es un espacio topológico (la base del paquete) y es un espacio vectorial. ${\ estilo de visualización X \ veces V}$ $X$ $V$
Un ejemplo más complicado es el paquete tangente de una variedad uniforme : cada punto de la variedad está asociado con un espacio tangente a la variedad en ese punto. El fibrado tangente puede, en general, no ser trivial.
Otro ejemplo de paquete no trivial es la tira de Möbius . Empezamos con un paquete trivial de dimensión 1 sobre un segmento y pegamos las líneas en sus extremos de acuerdo con la regla . Este es un ejemplo de un paquete vectorial que no se puede orientar. $[0,1]$ ${\ estilo de visualización [0, t] \ sim [1, -t]}$

Definiciones

Un fibrado vectorial es un fibrado localmente trivial cuya fibra es un espacio vectorial, con una estructura de grupo de transformaciones lineales reversibles . $V$ $V$

Definiciones relacionadas

Un subpaquete U de un paquete vectorial V en un espacio topológico X es una colección de subespacios lineales , que a su vez tiene la estructura de un paquete vectorial. $U_{x}\subconjunto V_{x}$ $x\en X$
Un paquete lineal es un paquete vectorial de rango 1.

Morfismos

Un morfismo de un paquete vectoriala un paquete vectorialestá dado por un par de aplicaciones continuasytal que ${\ estilo de visualización \ pi _ {1} \ dos puntos E_ {1} \ a X_ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ pi _ {2} \ dos puntos E_ {2} \ a X_ {2}}$ ${\displaystyle f\dos puntos E_{1}\a E_{2))$ ${\displaystyle g\colon X_{1}\to X_{2))$

$g\circ \pi_{1}=\pi_{2}\circ f$
para any , el mapeo inducido es un mapeo lineal de espacios vectoriales. ${\ estilo de visualización x \ en X_ {1}}$ $\pi _{1}^{-1}(\{x\})\a \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\}),$ $F,$

Tenga en cuenta que está definido (ya que es una sobreyección); en este caso, dicen que cubre . $gramo$ $F$ $\pi_{1}$ $F$ $gramo$

La clase de todos los paquetes vectoriales, junto con los morfismos de paquetes, forma la categoría . Restringiéndonos a paquetes vectoriales que son variedades suaves y morfismos suaves de paquetes, obtenemos la categoría de paquetes vectoriales suaves . Los morfismos de paquetes vectoriales son un caso especial de mapeo de paquetes entre paquetes localmente triviales, a menudo se les llama homomorfismo de paquetes (vectoriales) .

El homomorfismo de paquetes de a junto con el homomorfismo inverso se denomina isomorfismo de paquetes (vectoriales) . En este caso, los paquetes se llaman isomorfos . Un isomorfismo de un paquete vectorial (rango ) sobre un paquete trivial (rango sobre ) se llama trivialización , mientras que se llama trivial (o trivializable ). Está claro a partir de la definición de paquete vectorial que cualquier paquete vectorial es localmente trivial . $E_1$ $E_2$ $E_1$ $E_2$ $k$ $mi$ $X$ $k$ $X$ $mi$ $mi$

Operaciones sobre paquetes

La mayoría de las operaciones en espacios vectoriales pueden extenderse a paquetes vectoriales haciendo pointwise .

Por ejemplo, si es un paquete vectorial sobre , entonces hay un paquete sobre , llamado paquete dual , cuya fibra en un punto es el espacio vectorial dual . Formalmente , se puede definir como un conjunto de pares , donde y . El paquete dual es localmente trivial. $mi$ $X$ $mi^{*}$ $X$ $x\en X$ ${\ estilo de visualización (E_ {x}) ^ {*}}$ $mi^{*}$ ${\ estilo de visualización (x, \ varphi)}$ $x\en X$ ${\ estilo de visualización \ varphi \ en E_ {x}^ {*}}$

Hay muchas operaciones funcionales realizadas en pares de espacios vectoriales (en un solo campo). Se extienden directamente a pares de paquetes de vectores en (sobre un campo dado). Aquí hay unos ejemplos. ${\ estilo de visualización E, F}$ $X$

La suma de Whitney , o fibra de la suma directa de y, es una fibra vectorialsobre, cuya fibra en un puntoes la suma directa de los espacios vectorialesy. $mi$ $F$ $E\oplus F$ $X$ $X$ $E_{x}\oplus F_{x}$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$ $F_{x}$

Un paquete de productos tensoriales se define de manera similar, utilizando productos tensoriales puntuales de espacios vectoriales. $E\oveces F$

Un paquete de homomorfismo ( hom-bundle ) es un paquete vectorial cuya fibra en un punto es el espacio de aplicaciones lineales de a (a menudo denotado por o ). Este fibrado es útil porque hay una biyección entre los homomorfismos de fibrados vectoriales desde hasta hasta y partes hasta . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Hom} \, (E, F)}$ $X$ ${\ Displaystyle E_ {x}}$ $F_{x}$ $\operatorname {Hom} \,(E_{x},F_{x})$ ${\ estilo de visualización L (E_ {x}, F_ {x})}$ $mi$ $F$ $X$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Hom} \, (E, F)}$ $X$

Véase también

Enlaces

Mishchenko A.S. Paquetes de vectores y sus aplicaciones. - M. : Ciencia. Cabeza. edición Phys.-Math. lit., 1984. - 208 p.
Jürgen Jost. Geometría riemanniana y análisis geométrico - (2002) Springer-Verlag, Berliná ISBN 3-540-42627-2 - Ver sección 1.5 .
Ralph Abraham , Jerrold E. Marsden. Foundations of Mechanics, - (1978) Benjamin-Cummings, LondonbISBN 0-8053-0102-X -Consulte la sección 1.5.