Espacio vectorial

El espacio vectorial ( espacio lineal ) es una estructura matemática , que es un conjunto de elementos, llamados vectores , para los cuales se definen las operaciones de suma entre sí y multiplicación por un número - un escalar [1] . Estas operaciones están sujetas a ocho axiomas . Los escalares pueden ser elementos de un campo numérico real , complejo o de cualquier otro tipo . Un caso especial de tal espacio es el habitual espacio euclidiano tridimensional , cuyos vectores se utilizan, por ejemplo, para representar fuerzas físicas .. En este caso, el vector como elemento del espacio vectorial no tiene que especificarse como un segmento dirigido. La generalización del concepto de "vector" a un elemento de un espacio vectorial de cualquier naturaleza no sólo no provoca confusión de términos, sino que permite comprender o incluso anticipar una serie de resultados que son válidos para espacios de naturaleza arbitraria [ 2] .

Los espacios vectoriales son objeto de estudio en álgebra lineal . Una de las principales características de un espacio vectorial es su dimensión. Dimensión es el número máximo de elementos del espacio linealmente independientes, es decir, recurriendo a una interpretación geométrica aproximada, el número de direcciones que no pueden expresarse entre sí mediante sólo la suma y la multiplicación por un escalar. El espacio vectorial se puede dotar de estructuras adicionales, como la norma o el producto escalar . Dichos espacios aparecen naturalmente en el cálculo , predominantemente en forma de espacios de funciones donde los vectores funciones Muchos problemas de análisis requieren averiguar si una secuencia de vectores converge a un vector dado. La consideración de tales preguntas es posible en espacios vectoriales con una estructura adicional, en la mayoría de los casos, una topología apropiada , que nos permite definir los conceptos de proximidad y continuidad . Dichos espacios vectoriales topológicos , en particular los espacios de Banach y Hilbert , permiten un estudio más profundo.

Los primeros trabajos que anticiparon la introducción del concepto de espacio vectorial datan del siglo XVII . Fue entonces cuando la geometría analítica , la doctrina de las matrices , los sistemas de ecuaciones lineales y los vectores euclidianos recibieron su desarrollo .

Definición

El espacio lineal , o vectorial , sobre un campo  es un cuádruple ordenado , donde

Las operaciones dadas deben satisfacer los siguientes axiomas, los axiomas de un espacio lineal (vectorial):

  1. para cualquiera ( conmutatividad de la suma );
  2. para cualquiera ( asociatividad de la suma );
  3. existe tal elemento que para cualquiera ( la existencia de un elemento neutro con respecto a la suma ), llamado vector cero , o simplemente cero , espacio ;
  4. para cualquiera existe tal elemento que , llamado vector opuesto al vector ;
  5. ( asociatividad de la multiplicación por un escalar );
  6. ( unitaridad: la multiplicación por un elemento neutro (por multiplicación) de un campo conserva un vector ).
  7. ( distributividad de la multiplicación de un vector por un escalar con respecto a la suma de escalares );
  8. ( distributividad de la multiplicación de un vector por un escalar con respecto a la suma de vectores ).

Así, la operación de suma define la estructura de un grupo abeliano (aditivo) en el conjunto .

Los espacios vectoriales definidos sobre el mismo conjunto de elementos, pero sobre campos diferentes, serán espacios vectoriales diferentes (por ejemplo, el conjunto de pares de números reales puede ser un espacio vectorial bidimensional sobre el campo de números reales o unidimensional sobre el campo de números reales). el campo de los números complejos ).

Las propiedades más simples

  1. El espacio vectorial es un grupo abeliano por adición.
  2. El elemento neutro es el único que resulta de las propiedades del grupo.
  3. para cualquier
  4. Porque cualquier elemento opuesto es el único que se sigue de las propiedades del grupo.
  5. para cualquier
  6. para cualquier y .
  7. para cualquier

Definiciones y propiedades relacionadas

Subespacio

Definición algebraica: Un subespacio lineal , o un subespacio vectorial , es un subconjunto no vacío de un espacio lineal tal que él mismo es un espacio lineal con respecto a los definidos en las operaciones de suma y multiplicación por un escalar. El conjunto de todos los subespacios generalmente se denota como . Para que un subconjunto sea un subespacio, es necesario y suficiente que

  1. para cualquier vector , el vector también pertenecía a cualquier ;
  2. para cualquier vector , el vector también pertenecía a .

Las dos últimas declaraciones son equivalentes a las siguientes:

para cualquier vector , el vector también pertenecía a cualquier .

En particular, un espacio vectorial que consta de un solo vector cero es un subespacio de cualquier espacio; cualquier espacio es un subespacio de sí mismo. Los subespacios que no coinciden con estos dos se llaman propios o no triviales .

Propiedades del subespacio
  • La intersección de cualquier familia de subespacios es nuevamente un subespacio;
  • La suma de subespacios se define como un conjunto que contiene todas las posibles sumas de elementos : .
    • La suma de una familia finita de subespacios es nuevamente un subespacio.

Combinaciones lineales

Expresión formal de la forma.

Se llama [3] una combinación lineal de elementos con coeficientes .

De hecho, esta definición (y las que se dan a continuación) se aplican no solo a las combinaciones de vectores, sino también a las combinaciones de cualquier otro objeto para el que tales sumas tengan algún sentido (por ejemplo, a las combinaciones de puntos en un espacio afín ).

La combinación lineal se llama:

  • no trivial si al menos uno de sus coeficientes es distinto de cero.
  • baricéntrico si la suma de sus coeficientes es igual a 1 [4] ,
  • convexo si la suma de sus coeficientes es igual a 1 y todos los coeficientes son no negativos,
  • equilibrado si la suma de sus coeficientes es 0.

Base. Dimensión

Los vectores se denominan [5] linealmente dependientes si existe una combinación lineal no trivial de ellos, cuyo valor es igual a cero; eso es

para algunos coeficientes distintos de cero

De lo contrario, estos vectores se denominan linealmente independientes .

Esta definición permite la siguiente generalización: un conjunto infinito de vectores de se llama linealmente dependiente , si algún subconjunto finito del mismo es linealmente dependiente, y linealmente independiente , si alguno de sus subconjuntos finitos es linealmente independiente.

Se puede demostrar [6] que el número de elementos ( potencia ) del máximo conjunto linealmente independiente de elementos de un espacio vectorial no depende de la elección de este conjunto. Este número se llama el rango , o dimensión , del espacio, y este conjunto en sí mismo se llama la base ( la base de Hamel , o la base lineal ). Los elementos de la base se llaman vectores base . La dimensión del espacio se denota con mayor frecuencia con el símbolo .

Por lo tanto, la dimensión de un espacio vectorial es un número entero no negativo (en particular, igual a cero si el espacio consta de un solo vector cero) o infinito (más precisamente, la potencia de un conjunto infinito). En el primer caso, el espacio vectorial se llama de dimensión finita , y en el segundo, de dimensión infinita (por ejemplo, el espacio de funciones continuas es de dimensión infinita ). Tradicionalmente, el estudio de los espacios vectoriales de dimensión finita y sus aplicaciones pertenece al álgebra lineal , y el estudio de los espacios vectoriales de dimensión infinita al análisis funcional . En el segundo caso, juega un papel esencial la cuestión de la descomposición de un elemento dado en un sistema infinito dado de funciones, es decir, la convergencia de las sumas infinitas correspondientes, para las cuales se considera un espacio vectorial de dimensión infinita. con una estructura adicional que permite determinar la convergencia, por ejemplo, con una métrica o topología .

Propiedades básicas:

  • Cualquier elemento linealmente independiente del espacio -dimensional forma una base de este espacio.
  • Cualquier vector se puede representar (únicamente) como una combinación lineal finita de elementos básicos:
.

Capa lineal

El lapso lineal de un subconjunto de un espacio lineal  es la intersección de todos los subespacios que contienen .

El tramo lineal es un subespacio de .

El tramo lineal también se denomina subespacio generado por . También se dice que el tramo lineal es el espacio abarcado por el conjunto .

El tramo lineal consta de todas las combinaciones lineales posibles de varios subsistemas finitos de elementos de . En particular, si  es un conjunto finito, entonces consta de todas las combinaciones lineales de elementos . Por lo tanto, el vector nulo siempre pertenece al tramo lineal.

Si  es un conjunto linealmente independiente, entonces es una base y por lo tanto determina su dimensión.

Isomorfismo

Dos espacios lineales y se denominan isomorfos si se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los vectores y de tal forma que se cumplan las siguientes condiciones:

  1. si vector corresponde a vector , y vector corresponde a vector , entonces vector corresponde a vector
  2. si el vector corresponde al vector , y es un elemento del campo , entonces el vector corresponde al vector [7]

Ejemplos

Estructuras adicionales

Véase también

Notas

  1. ↑ No confundas los conceptos de "multiplicación por un escalar" y " producto escalar ".
  2. ↑ Ilyin, Poznyak, 2010 , pág. 45.
  3. ↑ Kostrikin, Manin, 1986 , pág. ocho.
  4. ↑ Kostrikin, Manin, 1986 , pág. 198.
  5. ↑ Kostrikin, Manin, 1986 , pág. dieciséis.
  6. ↑ Kostrikin, Manin, 1986 , pág. catorce.
  7. ↑ Shilov G. E. Introducción a la teoría de los espacios lineales. - M., L., Gostekhteorizdat, 1952. - p. 70

Literatura

  • Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal. - 5to. - M. : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 319 p. — ISBN 5-7913-0015-8 .
  • Gelfand I. M.  Conferencias sobre álgebra lineal. 5ª ed. - M. : Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 320 p. - ISBN 5-7913-0016-6 .
  • Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Álgebra lineal y geometría. 2ª ed. — M .: Nauka , 1986. — 304 p.
  • Kostrikin A.I. Introducción al álgebra. Parte 2: Álgebra Lineal. - 3ro. - M. : Nauka ., 2004. - 368 p. — (Libro de texto universitario).
  • Maltsev AI Fundamentos de álgebra lineal. - 3ro. — M .: Nauka , 1970. — 400 p.
  • Postnikov M. M. Álgebra lineal (Conferencias sobre geometría. Semestre II). - 2do. — M .: Nauka , 1986. — 400 p.
  • Fuerza G. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. — M .: Mir , 1980. — 454 p.
  • Ilyin V. A., Poznyak E. G.  Álgebra lineal. 6ª ed. - M. : Fizmatlit, 2010. - 280 p. - ISBN 978-5-9221-0481-4 .
  • Halmos P. Espacios vectoriales de dimensión finita. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 p.
  • Faddeev D. K. Conferencias sobre álgebra. - 5to. - San Petersburgo. : Lan , 2007. - 416 p.
  • Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - 1er. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 p.
  • Schreier O., Shperner G. Introducción al álgebra lineal en una presentación geométrica = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Olshansky G. (traducido del alemán). - M. - L .: ONTI , 1934. - 210 p.