Conjunto bien ordenado
Un conjunto bien ordenado es un conjunto M linealmente ordenado tal que cualquiera de sus subconjuntos no vacíos tiene un elemento mínimo. En otras palabras, es un conjunto bien fundado con un orden lineal.
Ejemplos
- El conjunto vacío está bien ordenado.
- El ejemplo más simple de un conjunto infinito bien ordenado es el conjunto de números naturales con ordenación natural.
- El conjunto de los números enteros no está completamente ordenado, ya que, por ejemplo, no existe el más pequeño entre los números negativos . Sin embargo, se puede ordenar bastante definiendo una relación no estándar "menor que o igual a" [1] , que denotamos y definimos de la siguiente manera:
- El ejemplo más simple de un conjunto incontable bien ordenado es la colección de todos los números ordinales contables ordenados por la relación . Asumiendo la hipótesis del continuo, su poder es igual al poder del continuo.
Propiedades
- Según el teorema de Zermelo , si se acepta el axioma de elección , cualquier conjunto puede estar bien ordenado. Además, la afirmación de que existe un orden completo para cualquier conjunto es equivalente al axioma de elección. En particular, en presencia del axioma de elección, el conjunto de números reales puede ordenarse completamente.
- Si X e Y son dos conjuntos bien ordenados, entonces son isomorfos entre sí o exactamente uno de ellos es isomorfo al segmento inicial del otro.
Véase también
Literatura
- N. K. Vereshchagin, A. Shen. Parte 1. Comienzos de la teoría de conjuntos // Conferencias sobre lógica matemática y teoría de algoritmos. — 2ª ed., corregida. - M. : MTSNMO , 2002. - 128 p.
Notas
- ↑ Donald Knuth . El Arte de Programar, Volumen I. Algoritmos Básicos. - M .: Mir , 1976. - S. 571 (15b). — 736 pág.