Un numero negativo

Un número negativo es un elemento del conjunto de los números negativos, que (junto con el cero ) apareció en matemáticas cuando se amplió el conjunto de los números naturales [1] . El objetivo principal de la extensión era hacer que la resta fuera una operación tan completa como la suma . Dentro de los números naturales, solo el número más pequeño se puede restar del más grande, y la ley conmutativa no incluye la resta; por ejemplo, una expresión es válida, pero una expresión con operandos permutados no lo es. $3+4-5$ $3-5+4$

Sumar números negativos y cero a los números naturales hace posible la resta de cualquier par de números naturales. El resultado de tal extensión es un conjunto ( anillo ) de " enteros ". Con más extensiones del conjunto de números enteros a números racionales y reales , los valores negativos correspondientes se obtienen para ellos de la misma manera. Para números complejos, el concepto de "número negativo" no existe.

Construcción de números negativos

Posición de los números negativos en el eje numérico (resaltados en rojo)

Para cada número natural, hay uno y solo un número negativo, denotado , que es el complemento de cero : $norte$ $-norte$ $norte$

n + (-n) = 0.

Ambos números se llaman opuestos entre sí. Otros números naturales se llamarán "positivos", en oposición a "negativos". Si es positivo, entonces su opuesto es negativo y viceversa. El cero es opuesto a sí mismo [1] . Los valores positivos y negativos para números racionales y reales se definen de manera similar : cada número positivo está asociado con un negativo $norte$ $a$ ${\ estilo de visualización -a.}$

Para los números negativos, así como para los positivos, se define un ordenamiento que permite comparar un número con otro. Todos los números negativos, y solo ellos, son menores que cero, y también menores que los números positivos. En el eje numérico , los números negativos se ubican a la izquierda del cero.

El valor absoluto de un número es este número con el signo descartado [2] . Designacion: $a$ ${\ estilo de visualización \ izquierda | una \ derecha |.}$

Ejemplos:

\left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0

Restar el número ' de otro número es equivalente a sumar al opuesto para : $a$ $b$ $b$ $a$

ba=b+(-a).

Ejemplo: $25-75=-50.$

Para obtener información sobre cómo realizar operaciones aritméticas con números negativos, consulte Propiedades algebraicas de números enteros .

Propiedades de los números negativos

Los números negativos obedecen casi las mismas reglas algebraicas que los números naturales, pero tienen algunas peculiaridades.

Si cualquier conjunto de números positivos está acotado por abajo, entonces cualquier conjunto de números negativos está acotado por arriba.
Al multiplicar números enteros, se aplica la regla de los signos : el producto de números con diferentes signos es negativo, con el mismo - positivo.
Cuando ambos lados de la desigualdad se multiplican por un número negativo, el signo de la desigualdad se invierte. Por ejemplo, multiplicando la desigualdad 3 < 5 por −2, obtenemos −6 > −10.

Al dividir con un resto, el cociente puede tener cualquier signo, pero el resto, por convención, siempre es no negativo (de lo contrario, no está definido de manera única). Por ejemplo, dividir −24 por 5 con un resto permite dos representaciones:

-24=5\cdot (-5)+1;\ -24=5\cdot (-4)-4

Sólo es correcta la primera de ellas, en la que el resto es no negativo.

Variaciones y generalizaciones

Los conceptos de números positivos y negativos se pueden definir en cualquier anillo ordenado . Muy a menudo, estos conceptos se refieren a uno de los siguientes sistemas numéricos:

Las propiedades anteriores 1-3 también se cumplen en el caso general. Los conceptos de "positivo" y "negativo" no son aplicables a los números complejos .

Reseña histórica

El Antiguo Egipto , Babilonia y la Antigua Grecia no usaban números negativos, y si se obtenían raíces negativas de las ecuaciones (cuando se restaban), se rechazaban como imposibles. La excepción fue Diofanto , que en el siglo III ya conocía la regla de los signos y sabía multiplicar números negativos. Sin embargo, los consideró solo como una etapa intermedia, útil para calcular el resultado final positivo.

Por primera vez, los números negativos fueron parcialmente legalizados en el tratado chino clásico " Matemáticas en Nueve Libros " (siglo II a. C.), y luego (desde aproximadamente el siglo VII) en India , donde se interpretaron como deudas (escasez), o , como en Diofanto (siglo III dC), fueron reconocidos como valores temporales. Aún no se había definido la multiplicación y división de números negativos. La utilidad y legalidad de los números negativos se establecieron gradualmente. El matemático indio Brahmagupta ( siglo VII ) ya los consideraba a la par de los positivos, definió las cuatro operaciones con números negativos.

En Europa, el reconocimiento llegó mil años después, e incluso entonces, durante mucho tiempo, los números negativos fueron llamados "falsos", "imaginarios" o "absurdos". La primera descripción de ellos en la literatura europea apareció en el "Libro del ábaco" de Leonardo de Pisa ( 1202 ), quien trató los números negativos como deuda. Bombelli y Girard en sus escritos consideraban que los números negativos eran bastante aceptables y útiles, en particular, para indicar la falta de algo. Incluso en el siglo XVII , Pascal creía que , dado que "nada puede ser menos que nada" [3] . Un eco de aquellos tiempos es el hecho de que en la aritmética moderna la operación de resta y el signo de los números negativos se denotan con el mismo símbolo ( menos ), aunque algebraicamente se trata de conceptos completamente diferentes. $0-4=0$

En el siglo XVII , con el advenimiento de la geometría analítica , los números negativos recibieron una representación geométrica visual en el eje numérico , gracias a la introducción de un sistema de coordenadas rectangulares por René Descartes en 1637. A partir de este momento viene su completa igualdad. Sin embargo, la teoría de los números negativos estuvo en pañales durante mucho tiempo. Por ejemplo, se discutió activamente una proporción extraña : en ella, el primer término a la izquierda es mayor que el segundo, y a la derecha, viceversa, y resulta que el más grande es igual al más pequeño (" La paradoja de Arno "). Wallis creía que los números negativos son menores que cero, pero al mismo tiempo mayores que infinito [4] . Tampoco estaba claro qué significado tiene la multiplicación de números negativos y por qué el producto de números negativos es positivo; hubo discusiones acaloradas sobre este tema. Gauss en 1831 consideró necesario aclarar que los números negativos tienen fundamentalmente los mismos derechos que los positivos, y el hecho de que no se apliquen a todas las cosas no significa nada, porque las fracciones tampoco se aplican a todas las cosas (por ejemplo, no son aplicables al contar personas) [5] . $1:(-1)=(-1):1$

Una teoría completa y bastante rigurosa de los números negativos se creó solo en el siglo XIX ( William Hamilton y Hermann Grassmann ).

Números negativos famosos

Número	El significado del número	notas
-273,15°C	Temperatura cero absoluta	Esto es cero grados Kelvin.
−1.602 176 565 10 −19 C	carga de electrones	La carga elemental también puede ser positiva, para protones y positrones .
−2,7 10 −9	Constante de De Bruijn-Newman	El valor numérico es según el año 2000.

Véase también

Código complementario (representación numérica)

Notas

↑ 1 2 Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 111-113.
↑ Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 114.
↑ Sukhotin A. K. Las vicisitudes de las ideas científicas. M.: Mol. Guardia. 1991, página 34.
↑ Panov V. F., 2006 , p. 399..
↑ Alexandrova N.V. Términos matemáticos (Libro de referencia). Moscú: Escuela superior, 1978, página 164.

Literatura

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. — M .: Nauka, 1978.
- Reedición: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 páginas.
Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela . - M. : Educación, 1964. - 376 p.
Panov VF Números negativos // Matemáticas antiguas y jóvenes. - Ed. 2º, corregido. - M. : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 398-401. — 648 pág. — ISBN 5-7038-2890-2 .

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