Cálculo de coordenadas de intersecciones de círculos de igual altura de luminarias.

Cálculo de las coordenadas de los puntos de intersección de círculos de alturas iguales de luminarias : un método analítico propuesto por Gauss para determinar las coordenadas geográficas de la ubicación del observador a partir de las alturas medidas de dos luminarias y sus declinaciones y ángulos horarios , sin construcciones gráficas en el mapa. Se utiliza en la navegación astronómica junto con el método de Somner y el método de transferencia (método de St. Hilaire) . Si es imposible determinar el tiempo de observación, el método permite, no obstante, calcular la latitud geográfica de la ubicación del observador.

En el caso general, este método no requiere el conocimiento del lugar numerado , ya que la observación de la tercera luminaria nos permite eliminar la ambigüedad en la determinación del lugar de las dos primeras. Si es imposible observar la tercera luminaria, para resolver la ambigüedad, se recomienda medir los acimutes de las luminarias observadas para compararlos con los calculados para ambos puntos de intersección. La precisión aceptable para tomar acimutes es de ±10°. ${\ estilo de visualización (\ varphi _ {c}; \ lambda _ {c})}$

Datos iniciales

Para un cierto punto en el tiempo, la observación obtuvo las alturas de dos luminarias sobre el horizonte , y respectivamente [1] . También, del almanaque , sus declinaciones relacionadas con este momento, y ; y los ángulos horarios de Greenwich, y . La declinación norte y la longitud este se consideran valores positivos , la declinación sur y la longitud oeste son negativos, en los cálculos es necesario seguir la convención sobre los signos de las cantidades . $UT_{o}$ ${\ Displaystyle h_ {o1}}$ ${\ Displaystyle h_ {o2}}$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {2}}$ ${\ Displaystyle t_ {G1}}$ ${\ estilo de visualización t_ {G2}}$

Si las luminarias seleccionadas son estrellas cuyas declinaciones y ascensiones rectas pueden tomarse sin cambios durante el día, en lugar de los ángulos horarios de Greenwich, está permitido usar los valores de sus ascensiones rectas expresadas en medida angular , o complementos estelares ,. En este caso, la latitud geográfica de la ubicación del observador se calcula sin conocer la hora exacta de observación de las luminarias. $\alfa$ ${\ estilo de visualización \ tau ^ {\ estrella}}$

Progreso del cálculo

Considere los triángulos paralácticos y , donde está el polo norte celeste , y son los cuerpos observados, es el cenit del observador. y son las distancias cenitales de las luminarias. $PZ\sigma _{1}$ $PZ\sigma _{2}$ ${\ estilo de visualización P_ {N}}$ $\sigma_1$ $\sigma_2$ $Z$ ${\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1))$ ${\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2))$

En la primera etapa de los cálculos (determinación de la latitud), se requiere el valor del ángulo horario entre las luminarias , que, en el caso de observar planetas, el Sol o la Luna, se debe obtener a partir de sus ángulos horarios de Greenwich: $\Delta t$

{\ estilo de visualización \ Delta t = t_ {G2} -t_ {G1}}

Al observar las estrellas, este valor se puede obtener a partir de los valores de sus ascensiones rectas:

\Delta t=15^{\left[{\frac {\circ }{h}}\right]}\cdot (\alpha _{2}^{[h]}-\alpha _{1} ^{[h]})

De adiciones estelares:

\Delta t=\underbrace {(t_{G}^{\curlyvee}+\tau_{2}^{\star})}_{t_{G2}}-\underbrace {(t_{G} ^{\curlyvee}+\tau_{1}^{\estrella})}_{t_{G1}}=\tau_{2}^{\estrella}-\tau_{1}^{\estrella}

Los valores reales de los ángulos horarios de Greenwich serán necesarios en el paso de calcular la longitud.

Por la ley de los cosenos

Distancia angular entre luminarias, : ${\ estilo de visualización D_ {12}}$

\cos(D_{12})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\delta _{1})\cdot \cos( \delta _{2})\cdot \cos(\Delta t)

La parte constante del ángulo paraláctico , , en la primera luminaria: $q_{1}$

\cos(q_{1})={\frac {\sin(\delta _{2})-\sin(\delta _{1})\cdot \cos(D_{12})}{\ cos(\delta_{1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(\delta_{2})}{\cos(\delta_{1})\cdot \sin(D_{12})}}-{\frac {\tan(\delta _{1})}{\tan(D_{12})}}

La parte variable del ángulo paraláctico, , desde la primera estrella hasta el observador: ${\ estilo de visualización \ Delta q_ {1}}$

\cos(\Delta q_{1})={\frac {\sin(h_{o2})-\sin(h_{o1})\cdot \cos(D_{12})}{\cos( h_{o1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(h_{o2})}{\cos(h_{o1})\cdot \sin(D_{12}) }}-{\frac{\tan(h_{o1})}{\tan(D_{12})}}

El observador puede estar ubicado en uno de dos puntos, o , ubicado simétricamente con respecto al arco , el valor real del ángulo paraláctico puede ser la suma o diferencia de los ángulos y . $Corrección_{1}$ $Corrección_{2}$ ${\ estilo de visualización D_ {12}}$ $q_{1}$ ${\ estilo de visualización \ Delta q_ {1}}$

Latitud de la primera intersección, : $\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})}$

\sin(\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos( \delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}+\Delta q_{1})

Latitud de la segunda intersección, : $\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})}$

\sin(\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos( \delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}-\Delta q_{1})

En función de una estimación aproximada de la ubicación actual del observador , se selecciona un valor de latitud, que es el más cercano al valor esperado. Con él se hacen más cálculos. ${\ estilo de visualización \ varphi _ {o}}$

El signo del ángulo se puede determinar sin tratar de calcular ambos valores de latitud. Basta verificar con el tipo de triángulo : si el lugar numerado y el polo elevado del mundo están en el mismo lado del arco , el valor debe tomarse con un signo menos, si el lugar numerado y el polo del mundo mundo están en lados diferentes, el valor debe tomarse con un signo más. ${\ estilo de visualización \ Delta q_ {1}}$ ${\ Displaystyle P \ sigma _ {1} \ sigma _ {2}}$ ${\ estilo de visualización D_ {12}}$ ${\ estilo de visualización \ Delta q_ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ Delta q_ {1}}$

El valor principal del ángulo horario local , de la primera luminaria para la latitud : $t_{1}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {o}}$

\cos(t_{1})={\frac {\sin(h_{o1})-\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\varphi _{o})}{\ cos(\delta_{1})\cdot \cos(\varphi_{o})}}={\frac {\sin(h_{o1})}{\cos(\delta_{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}-\tan(\delta _{1})\cdot \tan(\varphi _{o})

Dado que la función $\arccos(x)$ siempre devuelve valores de ángulo en el rango , el valor real del ángulo horario local , está determinado por la posición de la estrella en relación con el meridiano del observador: si está al oeste, entonces , si a el este, entonces . $0^{\circ }...180^{\circ }$ ${\ Displaystyle t_ {m1_ {i}}}$ $t_{m1_{I}}=t_{1}$ $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$

Si la estrella está cerca del meridiano del observador, puede ser difícil determinar con confianza su azimut este u oeste, especialmente para luminarias ubicadas cerca del cenit. Para seleccionar el valor real del ángulo horario, se debe calcular la altura de la segunda estrella esperada para ambos valores posibles de y comparar con el valor observado . ${\ Displaystyle t_ {m1_ {i}}}$ ${\ Displaystyle h_ {o2}}$

t_{m2_{I}}=\soporte {(t_{m1_{I}}-t_{G1})}_{\lambda_{o_{I}}}+t_{G2}

es el ángulo horario local de la segunda luminaria en el valor principal de la función

\arccos(\cos(t_{1}))

t_{m2_{II}}=\soporte {(t_{m1_{II}}-t_{G1})}_{\lambda_{o_{II}}}+t_{G2}

es el ángulo horario local de la segunda luminaria en el segundo valor posible de la variable de entrada

\sin(h_{c2_{I))=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \ cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{I}})

- la altura calculada de la segunda luminaria para el lugar

{\ estilo de visualización (\ varphi _ {o}; \ lambda _ {o_ {I}}}}

\sin(h_{c2_{II))=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \ cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{II}})

- la altura calculada de la segunda luminaria para el lugar

{\ estilo de visualización (\ varphi _ {o}; \ lambda _ {o_ {II)})}

La longitud se calcula con el valor del ángulo horario, , de la primera luminaria, en el que la altura calculada, y observada, de la segunda luminaria son consistentes. ${\ Displaystyle t_ {m1_ {i}}}$ $h_{c2_{i))$ ${\ Displaystyle h_ {o2}}$

Longitud de la intersección seleccionada de círculos de igual altura, : ${\ estilo de visualización \ lambda _ {o}}$

{\ estilo de visualización \ lambda _ {o} = t_ {m1_ {i}}-t_ {G1}}

Se determinan las coordenadas geográficas y ubicaciones del observador en el momento del tiempo . ${\ estilo de visualización \ varphi _ {o}}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {o}}$ $UT_{o}$

Resolución de ambigüedad

Si sólo dos lumbreras estuvieran disponibles para la observación, por ejemplo, el Sol y la Luna, y es imposible eliminar la ambigüedad en la elección de las coordenadas mediante la observación de la tercera lumbrera, y el lugar de cómputo se desconoce incluso aproximadamente, es necesario calcular los acimutes de una de las luminarias para ambas intersecciones y compararlos con los valores observados.

Acimut de la estrella, : $A$

\cos(A)={\frac {\sin(\delta )-\sin(h)\cdot \sin(\varphi _{i})}{\cos(h)\cdot \cos(\ varphi _{i})}}={\frac {\sin(\delta )}{\cos(h)\cdot \cos(\varphi _{i))}}-\tan(h)\cdot \tan (\varphi _{i})

Para seleccionar el valor correcto de latitud (y, en el futuro, longitud), es suficiente tener una estimación del acimut de la luminaria observada con una tolerancia de ±10°.

Con la ayuda de haversines

Las coordenadas de los puntos de intersección, de acuerdo con los mismos datos iniciales, se pueden calcular [2] utilizando una sola función trigonométrica: el haversine del ángulo, . Para obtener una precisión de coordenadas de un minuto de arco, es adecuada una tabla de valores naturales de haversines de 4 dígitos [3] , que le permite hacer cálculos sin usar calculadoras electrónicas o tablas de logaritmos de los valores de varias funciones trigonométricas . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {hav} (\ theta)}$

Magnitudes auxiliares y : $F$ $GRAMO$

F=\operatorname {hav} (\delta _{2}-\delta _{1})

G=\operatorname {hav} (\delta _{2}+\delta _{1})

Distancia angular entre luminarias, : ${\ estilo de visualización D_ {12}}$

\operatorname {hav} (D_{12})=F+(1-FG)\cdot \operatorname {hav} (\Delta t)

Ángulo complementario a : ${\ estilo de visualización D_ {12}}$

{\displaystyle D^{*}=90^{\circ }-D_{12))

Distancia cenital , , de la primera luminaria; distancia cenital, , y distancia polar , , de la segunda estrella: $z_{1}$ $z_{2}$ $p_{2}$

{\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1))

{\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2))

{\displaystyle p_{2}=90^{\circ }-\delta_{2))

La distancia polar siempre se mide desde el polo norte celeste.

Magnitudes auxiliares , , , y : $j$ $k$ $L$ $PAGS$ $R$ $S$

J=\operatorname {hav} (h_{o1}-D^{*})

K=\operatorname {hav} (h_{o1}+D^{*})

L=\operatorname {hav} (\delta _{1}-D^{*})

P=\operatorname {hav} (\delta _{1}+D^{*})

R=\operatorname {hav} (\delta _{1}-h_{o1})

S=\operatorname {hav} (\delta _{1}+h_{o1})

Esquina auxiliar : $\alfa$

\operatorname {hav} (\alpha )={\frac {\operatorname {hav} (z_{2})-J}{1-KJ))

Esquina auxiliar : ${\ estilo de visualización (\ alfa + \ beta)}$

\operatorname {hav} (\alpha +\beta )={\frac {\operatorname {hav} (p_{2})-L}{1-PL))

Ángulo auxiliar , referido al primer punto de intersección de círculos de igual altura: ${\ estilo de visualización \ beta _ {I}}$

{\ estilo de visualización \ beta _ {I} = (\ alfa + \ beta) - \ alfa}

El ángulo complementario a la latitud, , y la latitud del primer punto de intersección, : ${\ estilo de visualización \ phi _{I}^{*}}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {I}}$

\operatorname {hav} (\phi _{I}^{*})=R+(1-RS)\cdot \operatorname {hav} (\beta _{I})

{\displaystyle\varphi_{I}=90^{\circ}-\phi_{I}^{*}}

Si el valor de latitud obtenido no concuerda con la estimación aproximada de la posición actual del observador, se calcula la latitud del segundo punto de intersección de círculos de igual altura:

\beta _{II}=(360^{\circ }-(\alpha +\beta ))-\alpha

\operatorname {hav} (\phi _{II}^{*})=R+(1-RS)\cdot \operatorname {hav} (\beta _{II})

{\displaystyle\varphi_{II}=90^{\circ}-\phi_{II}^{*}}

Los cálculos posteriores se realizan con el valor seleccionado . ${\ estilo de visualización \ varphi _ {o}}$

Magnitudes auxiliares y : $tu$ $V$

U=\operatorname {hav} (\delta _{1}-\varphi _{o})

V=\operatorname {hav} (\delta _{1}+\varphi _{o})

El valor básico del ángulo horario local , , de la primera luminaria, para la latitud : $t_{1}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {o}}$

\operatorname {hav} (t_{1})={\frac {\operatorname {hav} (z_{1})-U}{1-VU))

Dado que la función siempre devuelve valores de ángulo en el rango , el valor real del ángulo horario local , está determinado por la posición de la estrella en relación con el meridiano del observador: si está al oeste, entonces , si a el este, entonces . $\operatorname {archivo} (x)$ $0^{\circ }...180^{\circ }$ ${\ Displaystyle t_ {m1_ {i}}}$ $t_{m1_{I}}=t_{1}$ $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$

Si la estrella está cerca del meridiano del observador, puede ser difícil determinar con confianza su azimut este u oeste, especialmente para luminarias ubicadas cerca del cenit. Para seleccionar el valor del ángulo horario, se debe calcular la altura de la segunda luminaria, esperada para ambos valores posibles, y compararla con el valor observado . ${\ Displaystyle h_ {o2}}$

t_{m2_{I}}=\soporte {(t_{m1_{I}}-t_{G1})}_{\lambda_{o_{I}}}+t_{G2}

es el ángulo horario local de la segunda luminaria en el valor principal de la función

\operatorname {archivo} (\operatorname {hav} (t_{1}))

t_{m2_{II}}=\soporte {(t_{m1_{II}}-t_{G1})}_{\lambda_{o_{II}}}+t_{G2}

es el ángulo horario local de la segunda luminaria en el segundo valor posible de la variable de entrada

M=\operatorname {hav} (\delta _{2}-\varphi _{o})

N=\operatorname {hav} (\delta _{2}+\varphi _{o})

\operatorname {hav} (z_{c2_{I)))=M+(1-MN)\cdot \operatorname {hav} (t_{m2_{I))))

\operatorname {hav} (z_{c2_{II)))=M+(1-MN)\cdot \operatorname {hav} (t_{m2_{II)))

El arco es la distancia cenital de la segunda luminaria, calculada para el lugar . ${\ Displaystyle z_ {c2_ {i}}}$ ${\ estilo de visualización (\ varphi _ {o}; \ lambda _ {o_ {i}}}}$

h_{c2_{i}}=90^{\circ }-z_{c2_{i}}

es la altura calculada de la segunda luminaria.

Longitud del punto de intersección, : ${\ estilo de visualización \ lambda _ {o}}$

{\ estilo de visualización \ lambda _ {o} = t_ {m1_ {i}}-t_ {G1}}

Se determinan las coordenadas geográficas y ubicaciones del observador en el momento del tiempo . ${\ estilo de visualización \ varphi _ {o}}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {o}}$ $UT_{o}$

Resolución de ambigüedad

Distancia angular de la luminaria desde el poste elevado, : $ePD$

ePD={\begin{cases}90^{\circ }-\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ y }}\varphi _{i}{\text{ del mismo nombre (ambos hemisferios norte o sur)))\\90^{\circ }+\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ y }}\varphi _{i}{\text{ diferente)) \end{casos}}

Acimut de la estrella, : $A$

\operatorname {hav} (A)={\frac {\operatorname {hav} (ePD)-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)}{1-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)-\nombre del operador {hav} (\vert \varphi _{i}\vert +h)))

Para seleccionar el valor correcto de latitud (y, en el futuro, longitud), es suficiente tener una estimación del acimut de la luminaria observada con una tolerancia de ±10°.

Notas

↑ Si las alturas de las luminarias no fueron medidas al mismo tiempo, es necesario corregir la altura de una de ellas por reducción a un momento , si el observador estaba en movimiento, adicionalmente se requiere llevar la altura a un cenit .
↑ Lars Bergman, Solución All-Haversine . Consultado el 23 de septiembre de 2019. Archivado desde el original el 23 de septiembre de 2019. (indefinido)
↑ tabla de 4 dígitos de valores naturales de haversines, PDF, 51kB

Enlaces

Literatura

Capitán 3er grado A. Lusis, Determinación de un lugar por estrellas usando un método mejorado de isolíneas de gran altitud , "Sea Collection" 1988 No. 12, p.65