Flujo geodésico
Un flujo geodésico en una variedad es un flujo (o, en otras palabras, un grupo de difeomorfismos de un parámetro ) en un paquete tangente cuyas trayectorias se definen de la siguiente manera: cada vector avanza a lo largo de la tangente geodésica en el tiempo mientras permanece tangente a esta geodésica .
En cierto sentido, tal flujo generaliza el movimiento a una velocidad constante en el espacio euclidiano . También vale la pena enfatizar que, a pesar del nombre, el flujo geodésico es un flujo en el sentido de sistemas dinámicos, definidos precisamente sobre el haz tangente , y no sobre la variedad misma .
A menudo se considera un flujo geodésico en el espacio de vectores unitarios tangentes (porque la longitud de un vector se conserva bajo un flujo geodésico).
La ecuación de flujo geodésico en una variedad de Riemann se puede ver como una ecuación de la mecánica hamiltoniana con energía potencial cero.
Ejemplos
- Como se mencionó anteriormente, para una métrica euclidiana estándar, el flujo geodésico define el movimiento a una velocidad constante:
- Las trayectorias del flujo geodésico en el plano de Lobachevsky tienden al absoluto tanto en el tiempo hacia adelante como hacia atrás.
- El flujo geodésico sobre una variedad de curvatura negativa resulta ser un flujo de Anosov : su dinámica es caótica. Un caso particular de esto es el flujo sobre una superficie de Riemann de género , provista de la métrica de Poincaré .
Véase también
- geodésico
- principio de Fermat
- flujo oricíclico
Literatura
- Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T., Geometría moderna, v.2. La geometría de las variedades. M.: Editorial URSS, 1998.