Álgebra geométrica

El álgebra geométrica es una construcción histórica del álgebra establecida en el segundo libro de los " Principios " de Euclides (siglo III a. C.), donde las operaciones se definían directamente para cantidades geométricas y los teoremas se demostraban mediante construcciones geométricas. En otras palabras, el álgebra de los antiguos matemáticos no solo surgió de los problemas de geometría, sino que se construyó completamente sobre una base geométrica [1] .

Por ejemplo, el producto de valores numéricos se definió [2] como un rectángulo con lados y .

Ejemplos

El enunciado del teorema de Pitágoras puede interpretarse como una igualdad algebraica, o como una igualdad de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos y el cuadrado construido sobre la hipotenusa . La segunda forma es un ejemplo del enfoque del álgebra geométrica.

La ley de distribución fue representada por los antiguos matemáticos como la igualdad del área de un rectángulo a la suma de las áreas de dos rectángulos obtenidos al cortar el original paralelo a uno de los lados (ver figura).

Historia

En el siglo IV a. mi. los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, es decir, su razón ( ) no puede expresarse ni como número natural ni como fracción . Sin embargo, los matemáticos antiguos no reconocían otros objetos numéricos, a excepción de los números naturales, incluso una fracción era considerada por ellos no como un número, sino como una razón ( proporción ) [3] .

Se las arregló para encontrar una salida en el siglo IV a. mi. Eudoxo de Cnido : introdujo, junto con los números, el concepto de cantidades geométricas (longitudes, áreas, volúmenes). Para cantidades homogéneas se definieron operaciones aritméticas similares a las numéricas. La teoría de Eudoxo fue expuesta por Euclides en el quinto libro de sus Principia , y fue utilizada en Europa hasta el siglo XVII. Euclides tuvo que volver a probar los teoremas sobre números por separado para cantidades, y la aritmética de cantidades era mucho más pobre que la aritmética numérica, aunque solo fuera porque se refería solo a cantidades homogéneas [4] [5] .

Crítica

En los tiempos modernos, quedó claro que la construcción del álgebra numérica sobre la base de la geometría era un error. Por ejemplo, desde el punto de vista de la geometría, las expresiones y ni siquiera tenían una interpretación geométrica ( no se definía la dimensión física del valor del resultado) y por lo tanto no tenían sentido; lo mismo se aplica a los números negativos [6] .

A partir de la Geometría de Descartes (1637), los matemáticos europeos tomaron un camino diferente: crearon la geometría analítica , que, en lugar de reducir el álgebra a geometría, reduce la geometría a álgebra, y este camino resultó ser mucho más fructífero. Para hacer esto posible, Descartes amplió el concepto de número : absorbió todos los números reales , incluidos los irracionales , y es abstracto , es decir, separado de la geometría [7] . El concepto separado de cantidad geométrica se vuelve entonces superfluo. La algebrización de la geometría también hizo posible descubrir características comunes en problemas geométricos que parecían ser completamente independientes [8] .

Algunos historiadores han cuestionado la existencia del álgebra geométrica. Por ejemplo, Shabtai Unguru creía que dado que la historia de las matemáticas no fue escrita por historiadores, sino por matemáticos, en sus reconstrucciones procedieron del hecho de que las matemáticas esencialmente no han cambiado y, por lo tanto, al presentar la historia, usaron libremente el ideas y términos de las matemáticas modernas.

Notas

  1. ↑ Nikiforovsky, Freiman, 1976 , p. 5.
  2. ↑ Zeiten, 1932 , pág. 42-43.
  3. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 72-74.
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Value // Enciclopedia matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1977. - T. 1.
  5. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen I, 1970 , p. 78.
  6. ↑ Bashmakova I. G. Conferencias sobre la historia de las matemáticas en la antigua Grecia // Investigación histórica y matemática . - M .: Fizmatgiz , 1958. - N° 11 . - S. 309-323 .
  7. ↑ Yushkevich A.P. Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 279-282.
  8. ↑ Scott, JF La obra científica de René Descartes. - Nueva York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .

Literatura