Geometría (Descartes)

Geometría

Pagina del titulo
información general
Autor René Descartes
Tipo de obra literaria
Género ensayo
Versión original
Nombre fr.  La geometría
Idioma Francés
Lugar de publicacion Leiden
El año de publicación 1637
Paginas 106
Versión rusa
Interprete A. P. Yushkevich
comentarista A. P. Yushkevich
Lugar de publicacion M.—L.
editorial Gostekhizdat
El año de publicación 1938
Paginas 297

"Geometría" ( fr.  La Géométrie ) es la obra de René Descartes , publicada en Leiden (Holanda) en 1637 como el tercer apéndice del tratado filosófico de Descartes " Discurso del método ". Número de páginas: 106. En la primera edición no se da el nombre del autor. Esta es la única obra de Descartes dedicada íntegramente a las matemáticas; fue considerado por el autor como un ejemplo de la aplicación de sus métodos generales. Después de 1637, Geometry se publicó por separado de Discourse on Method [1] .

La "Geometría" de Descartes se convirtió en un punto de inflexión en el desarrollo de las nuevas matemáticas; fue un libro de referencia para los más grandes matemáticos del siglo XVII. Su valor principal fue que el libro contenía una presentación de una nueva sección de matemáticas: la geometría analítica , que hizo posible traducir problemas geométricos al lenguaje algebraico utilizando un sistema de coordenadas y, por lo tanto, simplificó enormemente su estudio y solución. Además, Descartes utilizó en Geometría un simbolismo matemático conveniente , que a partir de ese momento pasó a ser generalmente aceptado en la ciencia. Finalmente, "Geometría" inició el proceso de cambiar la atención de los matemáticos del estudio de los valores numéricos al estudio de las relaciones entre ellos, en la terminología moderna, funciones [2] .

Las transformaciones revolucionarias en las matemáticas llevadas a cabo en la "Geometría" permitieron a Descartes resolver una serie de problemas que eran inaccesibles a los métodos antiguos. El enfoque cartesiano sirvió como base para el desarrollo del análisis matemático a fines del siglo XVII por parte de Newton y Leibniz .

Antecedentes

En cierto sentido, se puede decir que Descartes invirtió las prioridades del álgebra y la geometría, corrigiendo el error estratégico de los antiguos matemáticos griegos . En el siglo V a.C. mi. estalló la primera crisis en los fundamentos de las matemáticas [3] - los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, es decir, su razón ( ) no puede expresarse ni por un número natural ni por una fracción . Sin embargo, los matemáticos antiguos no reconocieron otros objetos numéricos, a excepción de los números naturales, incluso una fracción fue considerada por ellos no como un número, sino como una razón ( proporción ). Se las arregló para encontrar una salida en el siglo IV a. mi. Eudoxo de Cnido : introdujo, junto con los números, el concepto de cantidades geométricas (longitudes, áreas, volúmenes). Para cantidades homogéneas se definieron operaciones aritméticas similares a las numéricas. La teoría de Eudoxo fue expuesta por Euclides en el quinto libro de sus Principia , y fue utilizada en Europa hasta el siglo XVII. Euclides tuvo que volver a probar los teoremas sobre números por separado para cantidades, y la aritmética de cantidades era mucho más pobre que la aritmética numérica, aunque solo fuera porque se refería solo a cantidades homogéneas [4] [5] .

En los tiempos modernos, quedó claro que la construcción del álgebra numérica sobre la base de la geometría era un error. Por ejemplo, desde el punto de vista de la geometría, las expresiones y ni siquiera tenían una interpretación geométrica ( no se definía la dimensión física del valor del resultado) y por lo tanto no tenían sentido; lo mismo se aplica a los números negativos [6] .

Descartes tomó un camino diferente: en lugar de reducir el álgebra a geometría, redujo la geometría a álgebra, y este camino resultó ser mucho más fructífero. Para hacer esto posible, Descartes amplió el concepto de número : absorbió todos los números reales , incluidos los irracionales , y es abstracto , es decir, separado de la geometría [7] . El concepto separado de cantidad geométrica se vuelve entonces superfluo. La algebrización de la geometría también hizo posible descubrir características comunes en problemas geométricos que parecían ser completamente independientes [8] [9] .

En combinación con el álgebra simbólica de François Vieta y el sistema de notación algebraica, que estaba bien desarrollado en ese momento (en cuyo desarrollo participó el mismo Descartes), esta innovación hizo posible llevar a cabo estudios matemáticos de una profundidad y generalidad sin precedentes. . Por primera vez, Descartes esbozó un plan para tal reforma de las matemáticas el 26 de marzo de 1619, en una carta al matemático holandés Isaac Beckmann . Material adicional que Descartes recibió en el curso de sus estudios de óptica [10] .

Predecesores

Descartes prácticamente no hace referencia a los trabajos de otros científicos en Geometría, lo que le dio a Wallis y varios otros matemáticos una razón para acusarlo de plagiar las ideas de otros algebristas, en particular, Harriot y Girard . Sin embargo, Descartes también construyó su otro tratado, Dioptrics, como si nadie hubiera estudiado óptica matemática antes que él [11] [12] .

Una influencia indudable en Descartes fue François Viète , el fundador del álgebra simbólica. Como se mencionó anteriormente, Descartes comenzó a desarrollar las ideas principales de su reforma ya en 1619, por lo que en los puntos clave de su programa es completamente independiente. Esto también lo confirma su extensa correspondencia. Girard antes de Descartes formuló el teorema fundamental del álgebra (1629), y Harriot fue el primero en investigar la descomposición de un polinomio en factores lineales (1631). Descartes no utilizó el simbolismo matemático de Girard y Herriot, y se familiarizó con el libro de Harriot después de la publicación de Geometría. Descartes mantuvo correspondencia activa con Pierre Fermat , quien también puede reclamar el honor de descubrir la geometría analítica, pero la influencia de Fermat no se siente en los escritos de Descartes. Ninguno de los predecesores propuso una reforma de las matemáticas tan radical como Descartes [13] [14] .

Rasgos ideológicos del enfoque de Descartes

Método universal para resolver problemas

A pesar de la importancia de crear geometría analítica, Descartes quería lograr un objetivo mucho mayor con la publicación de Geometría: dar el método más general para resolver problemas matemáticos. Este método general (como él creía) Descartes lo expone de la siguiente manera. La mayoría de los problemas matemáticos pueden finalmente reducirse a ecuaciones algebraicas oa un sistema de tales ecuaciones. Por tanto, la solución del problema es simplemente el cálculo de las raíces de estas ecuaciones . Si, al resolver un problema, no surgen ecuaciones algebraicas, sino otras ( trascendentales ), entonces para ellas, creía Descartes, no existe un método de solución general. Para el cálculo real de las raíces, Descartes utiliza un método gráfico : las raíces se obtienen como puntos de intersección de líneas, círculos y otras curvas algebraicas [15] . Descartes sabía que la construcción de curvas de dos grados ya le permite resolver alguna ecuación de grado [16] .

Por ejemplo, para resolver la ecuación:

Descartes lo representó como un sistema:

La primera ecuación da una parábola en el plano (x, z) , la segunda da un círculo , y queda por encontrar los puntos de su intersección. Descartes demostró que es posible resolver ecuaciones de quinto y sexto orden por métodos análogos, para los cuales no existen fórmulas algebraicas similares a la fórmula de Cardano [17] .

Todas las expresiones incluidas en la ecuación, Descartes las transfirió al lado izquierdo, de manera que el lado derecho es siempre igual a cero; esta técnica redujo el estudio a encontrar las raíces del polinomio del lado izquierdo y estudiar la conexión de estas raíces con los coeficientes de la ecuación [16] .

Generalización del concepto de número

Como se muestra arriba, Descartes, a diferencia de los autores antiguos, combinó números y cantidades geométricas. Al mismo tiempo, distinguió tres tipos de números: enteros , fraccionarios e irracionales ( del latín  surdus , literalmente: “sordo”); Descartes no hizo diferencias significativas entre ellos, ya que el estudio de las curvas continuas y sus imágenes algebraicas es incompatible con la restricción pitagórica a los números racionales [18] . Descartes también dio un paso hacia la legalización de los números negativos al representarlos como segmentos opuestos a los positivos. Aunque, según la tradición, Descartes todavía llamaba "falsas" a las raíces negativas, ya las combinaba con "verdaderas", es decir, positivas, en la categoría general de "raíces reales", contrastándolas con raíces imaginarias ( complejas ) [19] .

La reforma de Descartes significó la "igualación de derechos" de los números enteros, fraccionarios e irracionales. Este proceso a largo plazo fue completado por Newton , quien en " Universal Arithmetic " (1707) dio la definición clásica de un número real como la relación entre el resultado de la medición y una unidad estándar [19] [20] :

Por número entendemos no tanto un conjunto de unidades como una relación abstracta de una cantidad con otra cantidad del mismo tipo, tomada como unidad.

Texto original  (lat.)[ mostrarocultar] Per Numerum non tam multitudinem unitatum quam abstractam quantitatis cujusvis ad aliam ejusdem generis quantitattem quae pro unitate habetur ratioem intelligimus.

Geometría analítica

Los historiadores descubrieron los inicios del método de coordenadas en las "Secciones cónicas" de Apolonio de Perga ( siglo III a. C. ). Descartes desarrolló las ideas básicas de la geometría analítica a más tardar en 1632. El principio de formular propiedades geométricas en lenguaje algebraico fue desarrollado simultáneamente con Descartes por otro destacado matemático francés, Pierre Fermat , pero su trabajo no se publicó durante la vida del autor. El enfoque de Fermat era similar al cartesiano, aunque inferior a este último en claridad y profundidad de presentación [21] .

El sistema de coordenadas de Descartes era algo diferente al moderno. Descartes fija el origen de coordenadas y el eje de coordenadas positivas en el plano (él consideraba sólo las coordenadas positivas, y su eje de ordenadas es horizontal), luego proyecta sobre este eje, perpendicularmente o en un ángulo fijo diferente , los puntos de la curva en estudio. , obteniendo en realidad la segunda coordenada ( abscisa ) como la longitud del segmento saliente. Además, Descartes deduce de esta curva una relación que conecta las abscisas y las ordenadas ( ecuación de la curva ). Después de eso, cualquier declaración geométrica sobre una curva dada puede derivarse puramente algebraicamente de la ecuación de la curva, sin recurrir a dibujos. Sin embargo, rindiendo homenaje a la antigua tradición, Descartes suele dar una interpretación geométrica de sus ecuaciones. Nótese que los términos abscisa, ordenada, coordenada en el sentido moderno aparecieron mucho más tarde con Leibniz, y el segundo eje de coordenadas fue introducido por primera vez por el comentarista de Descartes Claude Rabuel ( Claude Rabuel , 1669-1728) en un suplemento de Geometría publicado póstumamente ( 1730) [22] [23] [24] [25] .

Descartes dividió todas las curvas continuas en geométricas y mecánicas ; los primeros difieren en que pueden ser descritos por una ecuación algebraica . Las curvas mecánicas como las espirales o los cuadriceps quedaron fuera del alcance del estudio de Descartes. Realizó la primera clasificación de curvas algebraicas planas de varios grados, posteriormente corregida y complementada por Newton [21] . Descartes era claramente consciente de que su algebrización estaba plagada de un peligro oculto: al sacar conclusiones de la fórmula de las coordenadas, es necesario, en principio, comprobar cada vez que estas conclusiones no dependen de la elección del sistema de coordenadas y no son una consecuencia accidental de alguna característica del sistema de coordenadas actual. El razonamiento de Descartes sobre este tema sentó las bases de la teoría de las invariantes [9] .

La notación de Descartes

Con Descartes, el simbolismo algebraico recibió un aspecto casi moderno; "Geometría" es el primer libro de la historia, las fórmulas en las que el lector moderno percibirá sin dificultad. Descartes sugirió usar las letras iniciales del alfabeto para los parámetros conocidos : y para los parámetros desconocidos , las últimas letras: Descartes usó la misma tripleta como símbolos de coordenadas al trazar gráficos ; El mismo Descartes, sin embargo, se limitó a las curvas planas, el uso activo de las coordenadas espaciales comenzó más tarde que Clairaut [26] [7] .

Descartes formó la notación moderna de exponenciación , por ejemplo: con el exponente a la derecha y encima del símbolo variable . Hacia el final del siglo, Newton extendió esta notación a exponentes fraccionarios y negativos. F. Cajori caracteriza la notación cartesiana de grados como el simbolismo más exitoso y flexible de todo el álgebra - es simple, compacta y clara, facilita las transformaciones y, lo que resultó especialmente importante para lo que sigue, estimuló la expansión de la concepto de exponenciación a exponentes negativos, fraccionarios e incluso complejos , así como la aparición en matemáticas de una potencia y función exponencial ; todos estos logros habrían sido difíciles de alcanzar utilizando las designaciones del siglo XVI [27] .

El simbolismo algebraico de Descartes fue adoptado casi por completo por las siguientes generaciones de científicos, solo el inusual signo igual cartesiano fue reemplazado por un símbolo más exitoso de Robert Record . Además, se eliminaron las restricciones a los coeficientes, que Descartes siempre consideró no negativos, y las excepciones a esta regla se reflejaron mediante un signo especial [28] . El matemático holandés Johann Hudde ya en 1657 permitió que las variables literales tomaran valores de cualquier signo [29] . La monografía de Newton " Universal Arithmetic " (1707) utiliza la notación de Descartes y el signo igual de Record. La unificación de la notación algebraica se completó básicamente a fines del siglo XVII [28] .

Contenidos

"Geometría" se divide en tres partes (libros). Las afirmaciones del autor, por regla general, no van acompañadas de pruebas rigurosas, pero se ilustran con una gran cantidad de ejemplos [16] .

Libro uno: "De problemas que se pueden construir utilizando únicamente círculos y líneas rectas" . Ya en el primer capítulo, el autor declara: "Todos los problemas de geometría pueden reducirse fácilmente a términos tales que para su construcción será necesario conocer sólo la longitud de algunas líneas rectas". Descartes describe la correspondencia entre las operaciones aritméticas y las construcciones geométricas equivalentes a ellas, introduce al lector a su sistema de notación. Además, proporciona un método para construir ecuaciones para el problema que se está resolviendo: solo necesita escribir los datos en la condición del problema de relación con fórmulas y luego buscar una solución a las ecuaciones obtenidas [30] .

Como ejemplo de la eficacia de su método, Descartes consideró y resolvió el clásico problema de Pappus (del tratado Pappus "Colección Matemática", libro VII): para líneas en un plano, se requiere encontrar el lugar geométrico de tales puntos para que el producto de las longitudes de los segmentos trazados de estos puntos a estas líneas en los mismos ángulos, tiene una razón dada a un producto similar de las longitudes de los segmentos dibujados a las líneas rectas restantes. Papp determinó que el lugar geométrico deseado es una sección cónica , pero no dio una prueba completa; Descartes consideró no sólo el caso general, sino también las situaciones especiales (parte del estudio lo sitúa en el segundo libro) [22] [23] [31] .

Libro Segundo: "Sobre la naturaleza de las líneas torcidas" . Este libro está dedicado a las aplicaciones del álgebra a la geometría. Aquí Descartes indicó un método general para dibujar normales y tangentes a curvas algebraicas, que luego aplicó a ciertos problemas de óptica . El cálculo diferencial aún no ha sido creado, y Descartes utiliza el método de los coeficientes indefinidos , que se ilustra con el ejemplo de la elipse , la cisoide de Diocles y el óvalo [32] . Cuando Pierre Fermat informó a Descartes de su método diferencial de dibujar tangentes, más simple y más prácticamente moderno, lo rechazó por ir más allá de los límites del álgebra, aunque en el estudio de la cicloide y la espiral logarítmica , él mismo utilizó métodos que no encajaban. en la ideología cartesiana (por ejemplo, el método de los indivisibles ) [33] [34] .

Descartes expresó su pesimismo en este capítulo respecto a la posibilidad de calcular la longitud de un arco de una curva arbitraria (“ enderezar una curva ”, como se decía entonces): en su opinión, “la relación entre rectas y curvas es desconocida y, en mi opinión, pensar, ni siquiera puede ser conocido por la gente ” [35 ] [36] En ese momento, de hecho, ninguna curva, a excepción de un círculo , podía ser enderezada. El pesimismo resultó ser injustificado: veinte años después (en 1657), William Neil llevó a cabo la rectificación de la parábola de Neil , y un año después, Wren encontró la longitud del arco de una cicloide no algebraica . Además , el análisis matemático creó una teoría general para encontrar la longitud de un arco, que se utilizó de inmediato para una amplia variedad de curvas [37] .

Al final de la segunda parte, Descartes escribe: "Ahora creo que no me he perdido nada de los principios necesarios para el conocimiento de las líneas curvas". De hecho, las posibilidades ilimitadas abiertas por la geometría analítica fueron solo el comienzo del impresionante progreso de la nueva geometría [23] .

Libro Tercero: “De la construcción de las tareas corporales o trascendentes del cuerpo” . En el tercer libro, Descartes esbozó los teoremas básicos del álgebra acumulados durante este período y los métodos para resolver ecuaciones, que vinculó en un solo sistema, con simbolismo y terminología generales convenientes. En particular, formuló el teorema fundamental del álgebra : una ecuación puede tener tantas raíces diferentes como su grado (Descartes llamó raíces complejas "imaginarias" y les prestó poca atención) [38] .

A continuación se dan (sin prueba) la regla de los signos de Descartes para determinar el número de raíces positivas y negativas a partir de los coeficientes de un polinomio (estrictamente probada solo en el siglo XVIII por Lagrange ), así como las reglas para determinar la posición de los reales raíces en el eje real . Un siglo antes que Etienne Bezout , Descartes demostró que si es la raíz de un polinomio , entonces este polinomio tiene un factor , es decir, puede representarse como . Descartes reduce el problema de la trisección de ángulos a una ecuación cúbica y lo resuelve con su método habitual, utilizando secciones cónicas [38] .

Descartes expresó la opinión de que las ecuaciones de tercer grado y superiores no se pueden resolver con regla y compás , en términos generales; en otras palabras, la ecuación cúbica general no se puede resolver usando solo raíces cuadradas (en lugar de cúbicas ). Esta afirmación resultó ser cierta, aunque el razonamiento del autor sobre este tema no es convincente y no tiene fuerza probatoria. Pero Descartes señaló correctamente que la solución de una ecuación cúbica con coeficientes enteros y un coeficiente principal de 1 mediante un compás y una regla es posible si esta ecuación tiene una raíz real (que, obviamente, será un número entero ). Descartes también resolvió exhaustivamente una pregunta similar para una ecuación de cuarto grado al construir su resolvente de tercer orden [39] [40] .

Influencia histórica

Concluyendo la "Geometría", Descartes comentó en broma [41] :

Y espero que nuestra posteridad me esté agradecida, no sólo por lo que aquí he explicado, sino también por lo que voluntariamente he omitido, para darles el gusto de encontrarlo por sí mismos.

De hecho, la obra de Descartes, especialmente después de la publicación de su traducción latina (1649, Frans van Schoten ), inmediatamente obtuvo numerosos seguidores y provocó muchas publicaciones, cuyos autores siguieron el camino indicado por Descartes y desarrollaron activamente sus ideas. "Geometría" soportó cuatro reimpresiones en Holanda y Alemania durante el siglo XVII. Con cada nueva edición, el texto de Descartes se llenó de extensas adiciones y aclaraciones de lugares difíciles; ya la segunda edición ocupaba dos volúmenes [1] . El propio Descartes, después de la "Geometría", se alejó en cierta medida de las matemáticas y prefirió el desarrollo de su filosofía natural metafísica (aunque en cartas a amigos dio la solución de muchos problemas) [33] .

Entre los primeros seguidores ideológicos de Descartes estaban van Schoten , Erasmus Bartholin , Johann Hudde , Florimond de Beaune . John Wallis (1655) fue indudablemente influenciado por Descartes , quien publicó un tratado con el significativo título "Matemáticas generales o un curso completo de aritmética" ( Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum , 1657), posteriormente revisado en un Tratado sobre álgebra (1685) . Wallis amplió la algebraización al método de los indivisibles (anteriormente puramente geométrico), acercándose a la creación de un cálculo integral [42] .

Isaac Newton en su juventud leyó la "Geometría" de Descartes e incluso la colocó por encima de los " Comienzos " de Euclides . En la " Aritmética universal " de Newton (1707), se produce definitivamente la separación del álgebra de la geometría [38] [43] [44] . Como señaló el historiador Carl Boyer , en sus primeras publicaciones sobre análisis , Gottfried Leibniz , conscientemente o no, imitó el estilo de la Geometría Cartesiana [45] ; en una de sus cartas Leibniz nombra a Galileo , Descartes y Huygens como sus maestros [46] .

Aunque la creación del análisis matemático a fines del siglo XVII devaluó la tesis de Descartes sobre la universalidad del enfoque algebraico, la expansión de esta tesis sobre una nueva base analítica retuvo todo lo mejor que había en el trabajo pionero de Descartes e hizo posible aplicar con éxito las nuevas matemáticas en muchas ciencias naturales [47] .

Publicaciones

Primeras ediciones

Texto en línea

traducción al ruso

Notas

  1. ↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. treinta.
  2. ↑ Yushkevich A.P. Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 257.
  3. ↑ Matvievskaya G.P. La doctrina del número en el Cercano y Medio Oriente medieval. - Tashkent: FAN, 1967. - S. 28. - 344 p. A pesar del título, el libro recorre la historia del concepto de número desde los tiempos más remotos.
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Value // Enciclopedia matemática. - M. : Enciclopedia soviética, 1977. - T. 1.
  5. ↑ Historia de las matemáticas. Desde la antigüedad hasta el comienzo de la Nueva Era // Historia de las Matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 78.
  6. ↑ Bashmakova I. G. Conferencias sobre la historia de las matemáticas en la antigua Grecia // Investigación histórica y matemática . - M .: Fizmatgiz , 1958. - N° 11 . - S. 309-323 .
  7. ↑ 1 2 Yushkevich A.P. Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 279-282.
  8. ↑ Scott, JF La obra científica de René Descartes. - Nueva York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .
  9. ↑ 12 Profesor de Mac .
  10. ↑ De la historia del álgebra de los siglos XVI-XVII, 1979 , p. 147-148.
  11. ↑ De la historia del álgebra de los siglos XVI-XVII, 1979 , p. 143-144.
  12. ↑ Stillwell D. Matemáticas y su historia. - Moscú-Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2004. - P. 127. - 530 p.
  13. ↑ Yushkevich A.P. Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 205, 227, 290-292.
  14. ↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 211.
  15. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 33, 43.
  16. ↑ 1 2 3 Yushkevich AP Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 281-282.
  17. ↑ Vileitner G., 1960 , pág. 58.
  18. ↑ Yushkevich A.P. Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 283.
  19. ↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 35-36.
  20. ↑ Yushkevich A.P. Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 293.
  21. ↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 103-104.
  22. ↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 106-109.
  23. ↑ 1 2 3 Yushkevich AP Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 287.
  24. ↑ Geometría, 1938 , p. 215.
  25. ↑ Vileitner G., 1960 , pág. 232, 247.
  26. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 113.
  27. ↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 1, 2007 , §315.
  28. ↑ 1 2 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 40-46.
  29. ↑ Historia de las notaciones matemáticas, vol. 2, 2007 , §392.
  30. ↑ Geometría, 1938 , p. catorce.
  31. ↑ Vileitner G., 1960 , pág. 216-218.
  32. ↑ Yushkevich A.P. Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 285.
  33. ↑ 1 2 Yushkevich A.P. Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 289.
  34. ↑ Vileitner G., 1960 , pág. 218-221.
  35. ↑ Geometría, 1938 , p. 49.
  36. ↑ Cita original en francés : "la proporción, qui est entre les droites & les courbes n'estant pas connuë, & mesme ie croy ne le pouuant estre par les hommes", véase Descartes, René. Discors de la method... . - 1637. - S. 340.
  37. ↑ Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 191-192.
  38. ↑ 1 2 3 Historia de las Matemáticas, Volumen II, 1970 , p. 42-45.
  39. ↑ Rybnikov K. A. Historia de las matemáticas en dos volúmenes. - M. : Ed. Universidad Estatal de Moscú, 1960. - T. I. - S. 135.
  40. ↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 221-223.
  41. ↑ Geometría, 1938 , p. 113.
  42. ↑ Zeiten G. G., 1938 , p. 228-230.
  43. ↑ Vileitner G., 1960 , pág. 222-238.
  44. ↑ Stillwell D. Matemáticas y su historia. - Moscú-Izhevsk: Instituto de Investigación Informática, 2004. - P. 166. - 530 p.
  45. ↑ Boyer C. B. La Historia del Cálculo y su desarrollo conceptual. - Publicaciones de Dover, Inc., 1949. - P. 207-208. — 346 pág.
  46. ↑ Filippov M. M. Leibniz: Su vida y obra: actividad social, científica y filosófica. Capítulo III. - San Petersburgo.  : Ed. F. Pavlenkova. — 96 págs. - ( ZhZL ; Número 129).
  47. ↑ Yushkevich A.P. Descartes y Matemáticas, 1938 , p. 292-293.

Literatura

Enlaces