Hipersuperficie

Una hipersuperficie es una generalización de la noción de superficie de un espacio tridimensional para un espacio n-dimensional; es una variedad de dimensión n que está incrustada en un espacio euclidiano de una dimensión mayor . $n+1$

La hipersuperficie como objeto juega un papel importante en la geometría diferencial; muchos teoremas importantes del análisis matemático se pueden reformular fácilmente utilizando hipersuperficies (por ejemplo, la fórmula de Stokes y sus casos especiales).

La hipersuperficie es el tema más frecuente de los paquetes espaciales.

Un ejemplo es la estratificación del espacio de configuración (el espacio de todos los estados posibles del sistema) según el valor de la energía. Este caso especial se denomina haz de espacio unidimensional (ya que podemos asignar a cada hipersuperficie algún número real: energía).

Los operadores diferenciales ( rotor , etc.) también se formulan en términos de hipersuperficies. Considerando, por ejemplo, el flujo de un campo vectorial a través de una superficie (también es una hipersuperficie) en un espacio tridimensional, obtenemos alguna característica de este campo, que se puede visualizar.

En el caso multidimensional, se pierde la visibilidad del concepto de "flujo de campo vectorial"; sin embargo, se conservan todas las propiedades básicas de una hipersuperficie ( el teorema de Ostrogradsky-Gauss ).

Debido a la presencia de algunas propiedades que son igualmente inherentes a todas las hipersuperficies ( teorema de Stokes ), una hipersuperficie se distingue como un objeto separado.

Unidad vectorial normal

Deje que la hipersuperficie esté dada por ecuaciones paramétricas:

(1)\qquad {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})

Consideraremos en todas partes en este caso que las funciones (1) son suficientemente suaves (segunda derivada continua), con un tensor métrico no degenerado . Los vectores de coordenadas en un punto de la variedad definen un subespacio afín , un hiperplano tangente a la variedad. El complemento ortogonal del hiperplano es la recta que pasa por el punto dado de la variedad y es perpendicular a él. Elegimos (una de las dos posibles) la dirección de esta recta y ponemos el vector unitario sobre la recta . En un punto vecino (cerca del punto ) de la variedad, la línea ortogonal estará cerca en dirección a la línea , por lo que la proyección del vector ya define de manera única una dirección positiva en la línea . Aparta en esta dirección positiva el vector unitario directo . Así, moviéndose de un punto de la variedad a otro en alguna región de la variedad, obtenemos una función vectorial: $g_{{ij}}=({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})$ ${\mathbf {r}}_{i}={\parcial {\mathbf {r}} \sobre \parcial u^{i}}$ $PAGS$ $L$ $\matemáticas {n}$ $PAGS$ $PAGS'$ $L'$ $L$ $L'$ $L'$ $L'$ ${\mathbf {n))'$

(2)\qquad {\mathbf {n}}={\mathbf {n}}(P)={\mathbf {n}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n })

Esta función será continua (porque la hipersuperficie (1) es suave, sin puntos singulares). Intentemos extender la función a toda la variedad . Esto se puede hacer en el caso de que, desplazándonos por cualquier contorno cerrado que se encuentre en la hipersuperficie, partiendo de un punto y calculando el vector normal por continuidad, volvamos a un punto con la misma dirección del vector normal. Tal hipersuperficie se llama bilateral o indicativa . Pero también existen tales hipersuperficies cuando, habiendo pasado por alto un contorno cerrado, regresaremos a un punto con el vector normal opuesto. Estas hipersuperficies se denominan unilaterales o no orientables . Ejemplos de hipersuperficies de un solo lado son la tira de Möbius y la botella de Klein . $PAGS$ $PAGS$ $PAGS$

De la ortogonalidad del vector normal a los vectores de coordenadas de la hipersuperficie, tenemos la ecuación:

(3)\qquad ({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {r}}_{i})=0

y la unidad de longitud del vector normal se describe mediante la ecuación:

(4)\qquad {\mathbf {n}}^{2}=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {n}})=1

Tensor de curvatura total

De la expresión

(5)\qquad {\mathbf {r}}_{{ij}}=\Gamma _{{ij}}^{k}{\mathbf {r}}_{k}+{\mathbf {b}} _ {{ij}}

y del hecho de que solo hay una dirección ortogonal a los vectores , se deduce que todos los vectores son colineales al vector , es decir podemos escribir: $\matemáticas {n}$ ${\mathbf{r}}_{i}$ $\matemáticas {n}$

(6)\qquad {\mathbf {b}}_{{ij}}={\mathbf {n}}b_{{ij}}

Los números son proyecciones de vectores sobre el vector normal y, por lo tanto, pueden ser tanto positivos como negativos. De acuerdo con la fórmula (6), la curvatura de todas las líneas geodésicas que pasan por un punto fijo de la variedad es paralela al vector (los centros de curvatura se encuentran en una línea recta ortogonal a la variedad): $b_{{ij}}$ ${\mathbf {b}}_{{ij}}$ $\matemáticas {n}$ $PAGS$ $\matemáticas {n}$

(7)\qquad {\mathbf {k}}={\mathbf {b}}_{{ij}}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n}}b_{{ij }}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n}}k

(7a)\qquad k=b_{{ij}}\tau ^{i}\tau ^{j}

Vectores normales derivados

La diferenciación con respecto a las coordenadas de la variedad de fórmula (4) da:

(8)\qquad {\parcial \sobre \parcial u^{i}}{\mathbf {n}}^{2}=2({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {n}}_{ i})=0

es decir, las derivadas del vector unitario normal son ortogonales al propio vector normal y, por lo tanto, son tangentes a la variedad del hiperplano. Podemos expandir el vector en términos de los vectores base del espacio tangente: ${\mathbf {n}}_{i}={\parcial {\mathbf {n}} \sobre \parcial u^{i}}$ $\matemáticas {n}$ ${\mathbf{n}}_{i}$

(9)\qquad {\mathbf {n}}_{i}=\alpha _{i}^{j}{\mathbf {r}}_{j}

Encontremos los coeficientes de expansión . Para hacer esto, multiplicamos escalarmente las partes izquierda y derecha de la fórmula (9) por el vector . Para el lado izquierdo tenemos: $\alpha _{i}^{j}$ ${\mathbf{r}}_{k}$

(10)\qquad ({\mathbf {n}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{k})=\parcial _{i}({\mathbf {n}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k})-({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {r}}_{{ik}})=-b_{{ik}}

Y para el correcto:

(11)\qquad \alpha _{i}^{j}({\mathbf {r}}_{j}\cdot {\mathbf {r}}_{k})=\alpha _{i}^{ j}g_{{jk}}=\alfa _{{ik}}

De las fórmulas (9-11) obtenemos la siguiente fórmula para calcular las derivadas del vector normal unitario en términos del tensor de curvatura total:

(12)\qquad {\mathbf {n}}_{i}=-b_{i}^{j}{\mathbf {r}}_{j}

Tenga en cuenta que el vector es ortogonal a las coordenadas en la variedad y, por lo tanto, su derivada covariante es la misma que la derivada parcial (similar al gradiente de un escalar): $\matemáticas {n}$

(13)\qquad \nabla _{i}{\mathbf {n}}=\parcial _{i}{\mathbf {n}}={\mathbf {n}}_{i}

Para una línea geodésica , que consideraremos como una línea curva en un espacio euclidiano envolvente (n + 1) dimensional, el vector normal de la hipersuperficie coincidirá con el vector normal principal de la curva si el número en la fórmula (7a) es positivo , o será el vector opuesto (si <0). Encontremos la torsión de la geodésica : $\matemáticas {n}$ $k$ $k$ ${\ símbolo de negrita {\ varkappa}}$

(14)\qquad {d{\mathbf {n}} \over ds}=-k{\boldsymbol {\tau }}+{\boldsymbol {\varkappa }}

(15)\qquad {d{\mathbf {n}} \over ds}={\mathbf {n}}_{i}{du^{i} \over ds}={\mathbf {n}}_{ i}\tau ^{i}=-b_{j}^{i}\tau ^{j}{\mathbf {r}}_{i}

(16)\qquad {\boldsymbol {\varkappa }}={d{\mathbf {n}} \over ds}+k{\boldsymbol {\tau }}=(-b_{j}^{i}\tau ^{j}+k\tau ^{i}){\mathbf {r}}_{i}

De la fórmula (16) vemos que la torsión de la línea geodésica será cero si el vector de la tangente y es un vector propio de la matriz : $\tau^{i}$ $b_{j}^{yo}$

(17)\qquad b_{j}^{i}\tau ^{j}=k\tau ^{i}

Principales curvaturas y direcciones de una hipersuperficie

El tensor simétrico en una tangente en un punto a una hipersuperficie de espacio vectorial define una transformación lineal: $b_{{ij}}$ $PAGS$

(18)\qquad y_{i}=b_{i}^{j}x_{j}

y podemos poner el problema en los autovalores y vectores de esta transformación. Primero, pasemos a un sistema de coordenadas que será cartesiano rectangular en el punto . Como el tensor métrico es la unidad en este punto ( ), entonces las coordenadas covariante y contravariante del tensor serán las mismas, por lo que la transformación (18) se realiza mediante una matriz simétrica . Como se sabe por la teoría de matrices, una matriz simétrica tiene vectores propios mutuamente ortogonales (también podemos considerarlos como unidades), y todos los valores propios que les corresponden son números reales (que pueden ser tanto positivos como negativos). En el sistema de coordenadas elegido tenemos: $PAGS$ $g_{ij}=\delta _{ij}$ $b_{{ij}}$ $b_{i}^{j}$ $norte$ ${\boldsymbol {\tau}}^{{(s)))),\;s=1,2,\dots n$ $k^{{(s)}}$

(19)\qquad b_{i}^{j}\tau _{j}^{{(s)}}=k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(s)} }

(20)\qquad \sum_{i}\tau_{i}^{{(s)}}\tau_{i}^{{(p)))=({\boldsymbol {\tau}}^ {{(s)}}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{{(p))))=\delta ^{{sp}}={\begin{casos}1,&s=p\\0 ,&s\neq p\end{casos}}

La fórmula (19) tiene carácter tensorial, y por tanto es válida en cualquier sistema de coordenadas, y la ortogonalidad de los vectores propios (20) también se puede escribir en cualquier sistema de coordenadas mediante el tensor métrico:

(21)\qquad g^{{ij}}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{j}^{{(p)}}=g_{{ij}}\tau ^ {{(s)i}}\tau ^{{(p)j}}=\delta ^{{sp}}

Usando la fórmula (7a), podemos encontrar la curvatura de una línea geodésica dibujada paralelamente a uno de los vectores propios : ${\ símbolo de negrita {\ tau}}^{{(s)))$

(22)\qquad k=b_{{ij}}\tau ^{{(s)i}}\tau ^{{(s)j}}=k^{{(s)}}\tau _{j }^{{(s)}}\tau ^{{(s)j}}=k^{{(s)}}

Los valores propios se denominan curvaturas principales de la hipersuperficie, y los vectores propios que les corresponden se denominan direcciones principales. $k^{{(1)}},k^{{(2)}},\puntos k^{{(n)}}$

En un sistema de coordenadas que en un punto de la hipersuperficie tenga vectores de coordenadas coincidentes con las direcciones principales, la matriz del tensor de curvatura total será diagonal: $PAGS$ $b_{{ij}}=b_{i}^{j}$

(23)\qquad B=(b_{{ij)))={\begin{bmatrix}k^{{(1)}}&0&\cdots &0\\0&k^{{(2)}}&\cdots &0 \\\cdots &\cdots &\ddots &\cdots \\0&0&\cdots &k^{{(n)}}\end{bmatrix}}

Lo mismo se puede escribir en notación tensorial:

(24)\qquad b_{{ij}}=k^{{(i)}}\delta _{{ij}}

En esta fórmula no se realiza la suma por índice . $i$

Escribamos la expansión espectral del tensor usando los valores propios y los vectores. En un sistema de coordenadas arbitrario tenemos: $b_{{ij}}$

(25)\qquad b_{{ij}}=\sum_{{s}}k^{{(s)}}\tau_{i}^{{(s)}}\tau_{j}^ {{(s)}}

Ecuaciones de Peterson-Codazzi

Considere la acción del conmutador de derivadas covariantes en los vectores de coordenadas:

(26)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]{\mathbf {r}}_{i}=-R_{{\,ijk}}^{s}{\mathbf {r} }_{s}

Podemos escribir este conmutador en términos del tensor de curvatura total:

(27)\qquad [\nabla_{j}\nabla_{k}]{\mathbf {r}}_{i}=\nabla_{j}(\nabla_{k}{\mathbf {r} }_{i})-\nabla_{k}(\nabla_{j}{\mathbf {r}}_{i})=\nabla_{j}{\mathbf {b}}_{{ki }}-\nabla_{k}{\mathbf {b}}_{{ji}}=

\qquad =(\nabla_{j}{\mathbf {n}})b_{{ki}}+{\mathbf {n}}\nabla_{j}b_{{ki}}-(\nabla_{ k}{\mathbf {n}})b_{{ji}}-{\mathbf {n}}\nabla _{k}b_{{ji}}=-(b_{j}^{s}b_{{ ki}}-b_{k}^{s}b_{{ji}}){\mathbf {r}}_{s}+{\mathbf {n}}(\nabla_{j}b_{{ki} }-\nabla _{k}b_{{ji}})

Comparando las fórmulas (26) y (27), encontramos:

(28)\qquad R_{{\,ijk}}^{s}=b_{j}^{s}b_{{ki}}-b_{k}^{s}b_{{ji}},\qquad R_{{ijkl}}=b_{{ik}}b_{{jl}}-b_{{il}}b_{{jk}}

(29)\qquad \nabla_{j}b_{{ki}}=\nabla_{k}b_{{ji}}

La ecuación (29) se llama ecuación de Peterson-Codazzi . Esta igualdad se puede interpretar de la siguiente manera: la derivada covariante del tensor de curvatura total para una hipersuperficie es un tensor simétrico con tres índices:

(30)\qquad \nabla_{i}b_{{jk}}=b_{{ijk}}

Tensor de curvatura intrínseco

Sustituyamos la expansión espectral (25) en la fórmula (28). Encontrar el tensor de Riemann:

(31)\qquad R_{{ijkl}}=b_{{ik}}b_{{jl}}-b_{{il}}b_{{jk}}=\sum_{{p,s}}\left (k^{{(p)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{k}^{{(p)}}k{(s)}\tau _{j} ^{{(s)}}\tau_{l}^{{(s)}}-k^{{(p)}}\tau_{i}^{{(p)}}\tau_{ l}^{{(p)}}k{(s)}\tau _{j}^{{(s)}}\tau _{k}^{{(s)}}\right)=

\qquad =\sum_{{p,s}}k^{{(p)}}k^{{(s)}}\tau_{i}^{{(p)}}\tau_{j }^{{(s)}}\left(\tau _{k}^{{(p)}}\tau _{l}^{{(s)}}-\tau _{l}^{{ (p)}}\tau _{k}^{{(s)}}\right)

Introduzcamos la notación de un bivector - un área orientada construida sobre dos vectores de direcciones principales: ${\ símbolo de negrita {\ sigma}}^{{(ps)))$

(32)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)}}={\boldsymbol {\tau }}^{{(p)))\wedge {\boldsymbol {\tau }}^{ {(s)}}

o lo mismo en componentes:

(33)\qquad \sigma_{{ij}}^{{(ps)}}=\tau_{i}^{{(p)}}\tau_{j}^{{(s)}} -\tau _{j}^{{(p)}}\tau _{i}^{{(s)}}

Estos bivectores tienen área unitaria y son mutuamente ortogonales:

(34)\qquad |{\boldsymbol {\sigma}}^{{(ps)}}|=|{\boldsymbol {\tau}}^{{(p)))||{\boldsymbol {\tau} }^{{(s)}}|\sin \phi =1

(35)\qquad \sigma _{{ij}}^{{(ps)}}\sigma ^{{(kl)\,ij}}=0,\;{\mbox{if }}(ps)\ neq(kl)

En el lado derecho de la fórmula (31), los términos diagonales con los mismos índices son iguales a cero, y los términos fuera de la diagonal se dividen en dos grupos del mismo número: términos con y términos con . Por lo tanto, la fórmula (31) se puede reescribir de la siguiente manera: $pag=s$ $pag$ $p>s$

(36)\qquad R_{{ijkl}}=\sum_{{p<s}}k^{{(p)}}k^{{(s)}}\sigma_{{ij}}^{ {(ps)}}\sigma_{{kl}}^{{(ps)}}

Es fácil ver a partir de la fórmula (36) y la propiedad del bivector que debe cumplir la identidad algebraica de Bianchi. Después de todo, para cualquier bivector (área orientada) tenemos la identidad: $\sigma ){ij}$

(37)\qquad \sigma_{{ij}}\sigma_{{kl}}+\sigma_{{jk}}\sigma_{{il}}+\sigma_{{ki}}\sigma_ {{jl}}=0

En el sistema de coordenadas construido sobre las direcciones principales de la hipersuperficie, los vectores propios tienen coordenadas:

(38)\qquad \tau _{i}^{{(s)}}=\delta _{i}^{s},\qquad {\boldsymbol {\tau }}^{{(s)}}= \{0,0,\puntos 1,0,\puntos 0\}

Aquí, en la expresión entre paréntesis, la unidad está en el -ésimo lugar, el resto de las coordenadas son iguales a cero. $s$

También es fácil escribir las coordenadas de los bivectores usando las fórmulas (33): $\sigma _{{ij}}^{{(ps)}}$

(39)\sigma _{{ij}}^{{(ps)}}={\begin{casos}1,&i=p,\,j=s\\-1,&i=s,\,j= p\\0,&{\mbox{para cualquier otro }}i,j\end{casos}}

De (39) y (36) encontramos las componentes distintas de cero del tensor de Riemann:

(40)\qquad R_{{ijij}}=-R_{{ijji}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}},\qquad i\neq j

Además, dado que en el sistema de coordenadas elegido el tensor métrico es igual a la matriz identidad, encontramos el tensor de Ricci y la curvatura escalar :

(41)\qquad R_{{ij}}=\sum _{{s}}R_{{isjs}}=0,\qquad {\mbox{if }}i\neq j

(41a)\qquad R_{{ii}}=\sum_{{j\neq i}}R_{{ijij}}=k^{{(i)}}\sum_{{j\neq i}} k^{{(j)}}

(42)\qquad R=\sum_{{i,j \over i\neq j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}=2\sum_{{i< j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}

Reflexión en una única hiperesfera ${\ matemáticas {S}}^{n}$

Para cada punto de la hipersuperficie , tenemos un vector unitario normal (Fórmula 3), que apartamos del origen del sistema de coordenadas cartesianas en el espacio dimensional euclidiano . El final de este vector (punto) se encuentra en una hiperesfera de radio unidad. Consideremos cuál puede ser la imagen de toda la hipersuperficie en esta hiperesfera. ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u^{1},u^{2},\puntos u^{n})$ ${\mathbf {n}}={\mathbf {n}}(u^{1},u^{2},\puntos u^{n})$ $(n+1)$

Si la hipersuperficie es plana, entonces solo un punto de la hiperesfera será su imagen. La imagen de un cilindro o cono será una línea en una hiperesfera (un círculo es para un cilindro o cono circular). En un caso más general, será un área de la hiperesfera que, en particular, puede cubrir toda la hiperesfera, incluso más de una vez. Entonces, para una variedad cerrada , tenemos una característica de número entero: cuántas veces su imagen cubre la hiperesfera unitaria. Obviamente, esta característica no cambia bajo pequeñas deformaciones de la variedad y es una invariante topológica de la hipersuperficie.

Para derivar una fórmula integral para calcular este invariante, se necesita una fórmula para convertir volúmenes tras la reflexión en una unidad de hiperesfera . ${\ matemáticas {S}}^{n}$

Primero, considere un pequeño segmento en la variedad, que representaremos como un vector . Su imagen en la hiperesfera será un segmento: $d{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}_{i}du^{i}$

(43)\qquad d{\mathbf {n}}={\mathbf {n}}_{i}du^{i}=-(b_{i}^{j}du^{i}){\mathbf {r}}_{j}

Ahora podemos considerar una caja construida sobre vectores: $norte$

(44)\qquad (d{\mathbf {r}})^{{(1)}}={\mathbf {r}}_{1}du^{1},\;(d{\mathbf {r }})^{{(2)}}={\mathbf {r}}_{2}du^{2},\;\dots \;(d{\mathbf {r}})^{{(n )}}={\mathbf {r}}_{n}du^{n}

El volumen de esta caja será el valor de un multivector compuesto por los siguientes vectores:

(45)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {r}})))=({\mathbf {r}}_{1}\wedge {\mathbf {r}} _ {2}\cuña \cdots \cuña {\mathbf {r}}_{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}

Las imágenes de los vectores (44) sobre la hiperesfera serán los siguientes vectores: ${\ matemáticas {S}}^{n}$

(46)\qquad {\begin{matriz}(d{\mathbf {n}})^{{(1)))={\mathbf {n}}_{1}du^{1}=(-\ suma _{{i_{1}}}b_{1}^{{i_{1}}}{\mathbf {r}}_{{i_{1}}})du^{1}\\(d{ \mathbf {n}})^{{(2)}}={\mathbf {n}}_{2}du^{2}=(-\sum_{{i_{2}}}b_{2} ^{{i_{2))}{\mathbf {r}}_{{i_{2}}})du^{2}\\\cdots \\(d{\mathbf {n}})^{{ (n)}}={\mathbf {n}}_{n}du^{n}=(-\sum_{{i_{n}}}b_{n}^{{i_{n}}}{ \mathbf {r}}_{{i_{n}}})du^{n}\end{matriz}}

A partir de estas imágenes, también formamos un multivector:

(47)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {n}})))=({\mathbf {n}}_{1}\wedge {\mathbf {n}} _ {2}\cuña \cdots \cuña {\mathbf {n}}_{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}=(-1)^{n}\det (b_{j}^{i})\,d{\boldsymbol {\tau}}^{{({\mathbf {r}})))}

De la fórmula (47) se puede ver que la imagen del multivector es proporcional a la original con un coeficiente de proporcionalidad, que denotamos de la siguiente manera:

(48)\qquad K^{{[n]}}=(-1)^{n}\det(b_{j}^{i})=(-k^{{(1)}})(- k^{{(2)}})\cdots (-k^{{(n)}})

y llámela la curvatura gaussiana del grado th. Este coeficiente , salvo un signo, es igual al producto de las curvaturas principales de la hipersuperficie. $norte$

Las propiedades del producto de las curvaturas principales de una hipersuperficie bidimensional fueron estudiadas por primera vez por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1827 .

Integral gaussiana

Considere una hipersuperficie cerrada (como una esfera, un toro, etc.) e integre la curvatura gaussiana sobre toda la hipersuperficie (esta es la integral gaussiana): $METRO$

(49)\qquad I=\int _{{M}}K^{{[n]}}d\tau ^{{({\mathbf {r}})))}

El integrando debido a (47) es igual al elemento de volumen de la unidad hiperesfera , tomado con signo más o menos, dependiendo del signo de la curvatura gaussiana. Una imagen en una hiperesfera puede tener pliegues cuando el mismo punto de la hiperesfera está cubierto con un signo "más" para un punto de la variedad y con un signo "menos" para algún otro punto de la variedad. En este caso se compensan las aportaciones correspondientes a la integral (49). Pero dado que la imagen no tiene bordes rotos (para hipersuperficies de dos lados), debe cubrir toda la hiperesfera, quizás varias veces. Este hecho se puede escribir como la siguiente fórmula: ${\ matemáticas {S}}^{n}$

(50)\qquad \int_{{M}}K^{{[n]}}d\tau ^{{({\mathbf {r}})}}=N\omega_{{n+1} }

donde es un número entero (para hipersuperficies de dos lados), que puede ser positivo o negativo, y es el volumen de una unidad de hiperesfera: $norte$ $\omega _{{n+1}}$

(51)\qquad \omega _{{n+1}}=\omega ({\mathbb {S}}^{n})={2\pi ^{{n+1 \over 2}} \over \ Gamma({n+1 \over 2})}

Para hipersuperficies unilaterales, la fórmula (50) también es válida, pero en ella el número es un medio entero (ya que el mismo punto de la variedad tiene dos imágenes, puntos diametralmente opuestos en la hiperesfera). $norte$

Tenga en cuenta que no para todos los enteros y semienteros existe una hipersuperficie cerrada suave para la que se cumple la igualdad (50). Por ejemplo, si la dimensión de una hipersuperficie es n = 1, es decir, una curva en un plano, el número no puede ser un medio entero (la curva en forma de gota tiene una cola en la que los vectores normales son opuestos, pero este punto no es un punto regular). Los números enteros se realizan mediante curvas que (debido a las autointersecciones) envuelven una vez un punto fijo del plano. La fórmula (50) para la curva se escribirá de la siguiente manera: $norte$ $norte$ $norte$ $norte$ $L$

(51)\qquad -\oint _{L}kds=2\pi N

donde es la curvatura de la curva, tomada con un signo más o menos, dependiendo de si la curva se dobla en sentido horario o antihorario. El número N = 0 se realiza para una curva en forma de ocho. $k$ $norte$

Para una hipersuperficie bidimensional ( ) en un espacio tridimensional, el número es la mitad de la característica de Euler: $S$ $n=2$ $norte$

(52)\qquad N={1 \over 2}\chi (S)

y por lo tanto puede tomar todos los valores enteros y semienteros menores o iguales a uno: $N\leq 1$

Ejemplos

En el espacio bidimensional (plano) cualquier curva cerrada es una hipersuperficie