La hipótesis de Mordell

La conjetura de Mordell  es una conjetura sobre la finitud del conjunto de puntos racionales en una curva algebraica de género , propuesta por Louis Mordell en 1922. La conjetura se generalizó más tarde del campo de los números racionales a un campo de números arbitrarios . Fue demostrado por Gerd Faltings en 1983 y ahora también se llama teorema de Faltings .

Antecedentes

Sea  una curva algebraica no singular sobre el campo . El conjunto de puntos racionales de una curva depende de su género de la siguiente manera:

Prueba

En 1962, Shafarevich conjeturó que, salvo isomorfismo, el conjunto de curvas algebraicas que tienen un género dado , un campo de definición y un conjunto de malos puntos de reducción es finito . En 1968, Parshin mostró cómo la conjetura de Mordell se puede reducir a la conjetura de finitud declarada de Shafarevich.

En 1983, Faltings demostró la conjetura de finitud de Shafarevich utilizando el conocido método de reducir la conjetura al caso conjetura de Tate y las herramientas de la geometría algebraica incluida modelo de

Vojta otra demostración basada en aproximaciones diofánticas Más tarde fue simplificado por Faltings y Enrico Bombieri .

Consecuencias

Faltings, en su artículo de 1983, demostró varias afirmaciones que antes se consideraban hipótesis:

La aplicación más simple del teorema de Faltings es una forma débil del último teorema de Fermat : para cualquier elección , solo hay un número finito de soluciones coprimas de la ecuación , ya que para tal n la curva de Fermat tiene un género mayor que 1.

Generalizaciones

En virtud del teorema de Mordell-Weyl , el teorema de Faltings se puede reformular como un enunciado sobre la intersección de una curva con un subgrupo finitamente generado de una variedad abeliana . Reemplazando por una subvariedad arbitraria y por un subgrupo arbitrario de rango finito , obtenemos una generalización que conduce a la conjetura de Mordell-Leng , que ha sido probada.

Otra generalización del teorema de Faltings es la conjetura de Bombierri-Leng , que establece que si  es una variedad pseudocanónica (es decir, una variedad de tipo general) sobre un campo finito , entonces el conjunto de puntos racionales no es denso en ninguna parte en la topología de Zariski. de . Paul Vojta presentó más generalizaciones de la hipótesis.

La conjetura de Mordell para los campos de funciones fue probada por Manin en 1963 y por Grauert en 1965. Coleman en 1990 encontró y corrigió un vacío en la prueba de Manin.

Literatura

Enlaces