Hipótesis de Erdős-Graham

La conjetura de Erdős-Graham es una conjetura de la teoría combinatoria de números sobre el problema de dividir un conjunto de números enteros mayores que uno en un número finito de subconjuntos, uno de los cuales puede usarse para formar una fracción egipcia que representa la unidad. Erdős y Graham conjeturaron que para cualquier coloración de números enteros mayores que uno, existe un subconjunto monocromático finito de estos números enteros tal que: $r>0$ $r$ $S$

\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1

y el elemento máximo del conjunto se puede limitar a un valor con alguna constante independiente de . Se sabe que para la corrección de esta afirmación es necesario que no sea menor que el número . $S$ $b^r$ $b$ $r$ $b$ $mi$

La hipótesis fue probada por Ernest S. Croot , III en 2003 , la estimación es muy alta, el número no debería ser mayor que . El resultado de Kroot se deriva de un teorema más general, que afirma la existencia de una representación de la unidad en forma de fracción egipcia para conjuntos de números suaves en intervalos de la forma , donde contiene un número suficientemente grande de números cuya suma de recíprocos es al menos seis. La conjetura de Erdős-Graham se deriva de este resultado al encontrar un intervalo en el que la suma de los recíprocos de todos los números suaves sea al menos . Por lo tanto, si los enteros son de color, debe haber un subconjunto monocromático de , que satisfaga la condición del teorema de Kroot. $b$ $y^{167000}$ $C$ ${\ estilo de visualización [X, X ^ {1 + \ delta}]}$ $C$ $6r$ $r$ $C$

Notas

Enlaces

Croot, Ernest S., III. fracciones unitarias. - Universidad de Georgia , Atenas, 2000.
Croot, Ernest S., III. Sobre una conjetura para colorear sobre fracciones unitarias // Annals of Mathematics . - 2003. - T. 157 , núm. 2 . - S. 545-556 . doi : 10.4007 / annals.2003.157.545 . -arXiv : matemáticas.NT / 0311421 .
Pal Erdös , Ronald L. Graham . Viejos y nuevos problemas y resultados en teoría combinatoria de números // L'Enseignement Mathématique . - 1980. - T. 28 . - S. 30-44 .
Página web de Ernie Croot Archivado el 9 de abril de 2009 en Wayback Machine .