Ideal principal

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 24 de enero de 2021; la verificación requiere 1 edición .

El ideal principal es un ideal generado por un elemento.

No existe una notación generalmente aceptada para los ideales principales. A veces, la notación , , se usa para los ideales principales izquierdo, derecho y bilateral de un elemento de un anillo, respectivamente. $\mathrm {tapa} _{R}a$ $\mathrm {rid}_{R}a$ $\mathrm {id}_{R}a$ $a$ $R$

Definición

El ideal izquierdo de un anillo se llama ideal izquierdo principal si es generado por un solo elemento . Los ideales rectores principales y los ideales bilaterales principales se definen de manera similar . $R$ $a$

Si es un anillo conmutativo , entonces estos tres conceptos son equivalentes. En este caso, el ideal generado por se denota por . $R$ $a$ $(a)$

En el caso de un anillo asociativo con unidad , los ideales principales se describen a continuación.

${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra=\{ra:r\in R\))$ .
${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR=\{ar:r\in R\))$ .
$\mathrm {id}_{R}a=RaR=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\dots +r_{n}ar'_ {n}:r_{1},r'_{1},\puntos,r_{n},r'_{n}\en R\}$ .

Si es un anillo asociativo (en general, sin unidad), entonces $R$

${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra+\mathbb {Z} a=\{ra+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \))$ .
${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR+\mathbb {Z} a=\{ar+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \))$ .
$\mathrm {id}_{R}a=RaR+aR+Ra+\mathbb {Z} a=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+ \puntos +r_{n}ar'_{n}+ar'+r''a+ma:r',r'',r_{1},r'_{1},\puntos,r_{n} ,r'_{n}\in R,m\in \mathbb {Z} \}$ .

No todos los ideales son los principales. Considere, por ejemplo, un anillo de polinomio conmutativo con coeficientes complejos en dos variables y . El ideal generado por polinomios y , (es decir, el ideal formado por polinomios cuyo término libre es igual a cero) no será principal. Para probar esto, supongamos que este ideal es generado por algún elemento ; entonces debe ser divisible por y . Esto es posible solo si es una constante distinta de cero. Pero en una sola constante: cero. Llegamos a una contradicción. ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} [x, y]}$ $X$ $y$ $(x,y)$ $X$ $y$ $a\in \mathbb {C} [x,y]$ $X$ $y$ $a$ $(x,y)$

Definiciones relacionadas

Un anillo cuyos ideales son todos principales se llama anillo ideal principal .
El anillo integral de los ideales principales también se denomina dominio de los ideales principales . En áreas de ideales principales, se cumple el teorema fundamental de la aritmética (cualquier elemento puede factorizarse únicamente en factores primos); la prueba de este hecho es la misma que la prueba para el caso de los números enteros .

Ejemplos

Todos los anillos euclidianos son dominios ideales principales; en ellos, uno puede usar el algoritmo de Euclides para encontrar el elemento generador de un ideal dado . En general, dos ideales principales cualesquiera de un anillo conmutativo tienen un máximo común divisor en el sentido de la multiplicación ideal ; debido a esto, en los dominios de los ideales principales es posible calcular (hasta la multiplicación por un elemento invertible ) el MCD de los elementos y como elemento generador del ideal . $a$ $b$ $(a, b)$

Literatura

Vinberg E.B. Curso de álgebra. - 3ra ed. - M. : Prensa Factorial, 2002. - 544 p. - 3000 copias. — ISBN 5-88688-060-7 .