Colector liso

Una variedad lisa es una variedad dotada de una estructura suave . Las variedades suaves son una base natural para construir geometría diferencial . En las variedades diferenciales, se introducen estructuras infinitesimales adicionales: espacio tangente , orientación, métrica, conexión, etc., y se estudian aquellas propiedades asociadas con estos objetos que son invariantes bajo el grupo de difeomorfismos que conservan la estructura adicional.

Definición

Sea un espacio topológico de Hausdorff . Si para cada punto existe su vecindad , homeomorfa a un subconjunto abierto del espacio , entonces se le llama localmente espacio euclidiano , o variedad topológica de dimensión . $X$ $x\en X$ $tu$ $\mathbb{R} ^{n}$ $X$ $norte$

El par , donde está el homeomorfismo indicado, se llama gráfico local en el punto . Así, cada punto corresponde a un conjunto de números reales , que en el mapa se denominan coordenadas . Un conjunto de mapas se denomina atlas múltiple si: $(U,\fi)$ $\fi$ $X$ $X$ $norte$ $(x^{1},\ldots,x^{n})$ $(U,\fi)$ $\{(U_{\alpha },\phi _{\alpha })\},\alpha \in A,$ $C^k$ $(0\leqslant k\leqslant\infty)$ $X$

la totalidad de todas las coberturas , es decir $U_ {\ alfa}$ $X$ $X=\cup _{{\alpha \in A}}U_{\alpha }$
para cualquier tal que , mapeo: $\alfa,\beta\en A$ $U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \varnada$

\phi _{{\alpha }}^{{\beta }}=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{{-1}}:\phi _{\alpha }(U_ {\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })

es un mapeo suave de la clase ;

C^k

{\ estilo de visualización \ phi _ {\ alfa} ^ {\ beta}}

es un mapeo con un jacobiano distinto de cero y se llama mapeo de pegar un mapa a un mapa

{\ estilo de visualización (U_ {\ alfa}, \ phi _ {\ alfa})}

{\ estilo de visualización (U_ {\ beta}, \ phi _ {\ beta}).}

Se dice que dos -atlas son equivalentes si su unión nuevamente forma un -atlas. El conjunto de -atlas se divide en clases de equivalencia, denominadas -estructuras , por -estructuras diferenciales (o suaves). $C^k$ $C^k$ $C^k$ $C^k$ $1\leqslant k\leqslant \infty$

Una variedad topológica dotada de una estructura se llama variedad suave . $X$ $C^k$ $C^k$

Notas

Si, además, los mapas de pegado son analíticos , entonces esta definición da una estructura analítica, a veces denotada por -estructura. ${\ Displaystyle C^{a}}$

Variedades complejas

Problemas de geometría analítica y algebraica llevan a la necesidad de considerar en la definición de una estructura diferencial en lugar de un espacio de espacios más generales o incluso , donde es un campo completo normado no discreto. Entonces, en el caso que consideramos estructuras holomorfas ( complejas analíticas ) ( ) y las variedades suaves correspondientes: variedades complejas . Además, cualquier multiplicidad de este tipo también tiene una estructura analítica real natural. $\mathbb{R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n}}$ $K^n$ $k$ $K=\mathbb {C}$ $C^k$ $k\geqslant 1$

Estructuras compatibles

En cualquier variedad analítica existe una -estructura consistente con ella, y en una variedad, , -estructura si . Por el contrario, cualquier variedad paracompacta , , puede estar dotada de una estructura analítica compatible con la dada, y esta estructura (excepto el isomorfismo ) es única. Sin embargo, puede suceder que la variedad no pueda estar dotada de una estructura y, si esto tiene éxito, tal estructura puede no ser única. Por ejemplo, el número de estructuras -no -isomorfas en una esfera -dimensional es: $C^\infty$ $C^\infty$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $C^{r}$ $0\leqslant r\leqslant k$ $C^{r}$ $r \ geqslant 1$ $C^{0}$ $c ^ 1$ ${\ estilo de visualización \ theta (n)}$ $c ^ 1$ $C^\infty$ $norte$

$norte$	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez	once	12
${\ estilo de visualización \ theta (n)}$	una	una	una		una	una	28	2	ocho	6	992	una

Muestra

Sea un mapeo continuo de -variedades ; se llama un -morfismo (o -mapeo , o mapeo de la clase ) de variedades suaves si para cualquier par de gráficos en X y en Y como el mapeo: $f:X\a Y$ $C^{r}$ $X,Y$ $C^k$ $C^k$ $k\leqslant r$ $C^k$ ${\ estilo de visualización (U_ {\ alfa}, \ phi _ {\ alfa})}$ ${\ estilo de visualización (V_ {\ beta}, \ psi _ {\ beta})}$ $f(U_{\alpha })\subconjunto V_{\beta }$

\psi_{\beta}\circ f\circ \phi_{\alpha}^{{-1)):\phi_{\alpha}(U_{\alpha})\to \psi_{\beta} (V_{\beta})

pertenece a la clase . Una aplicación biyectiva , si son -mapas, se llama isomorfismo (o difeomorfismo ). En este caso, y y sus estructuras se dice que son isomorfas. $C^k$ $F$ $f^{-1}$ $C^k$ $C^k$ $X$ $Y$ $C^{r}$ $C^k$

Subconjuntos e incrustaciones

Un subconjunto de una variedad -dimensional se llama - una subvariedad de dimensión si para un punto arbitrario existe un mapa de estructura tal que e induce un homeomorfismo con un subespacio (cerrado) ; en otras palabras, hay un mapa con coordenadas , tal que está determinado por las relaciones . $Y$ $norte$ $C^k$ $X$ $C^k$ $metro$ $X$ $y\en y$ $(U,\fi)$ $C^k$ $X$ ${\ estilo de visualización y \ en U}$ $\fi$ $U\cap Y$ $\mathbb{R} ^{m}\subconjunto \mathbb{R} ^{n}$ $(x^{1},\ldots,x^{n})$ $U\cap Y$ ${\ estilo de visualización x^{m+1}=\ldots =x^{n}=0}$

Un mapeo se llama - una incrustación si es una subvariedad y es -difeomorfismo. $f:X\a Y$ $C^k$ $f(X)$ $C^k$ $Y$ $X\a f(X)$ $C^k$

Cualquier variedad -dimensional admite una incrustación en , así como en . Además, el conjunto de tales incrustaciones es denso en todas partes en el espacio de mapeo con respecto a la topología compacta-abierta . Así, la consideración de las variedades suaves como subvariedades del espacio euclidiano da una de las formas de estudiar su teoría, así, por ejemplo, se establecen los teoremas sobre estructuras analíticas antes mencionados. $norte$ $C^k$ $\mathbb{R} ^{{2n+1}}$ $\mathbb{R} ^{{2n}}.$ $C^{k}(X,\mathbb{R} ^{{2n+1}})$

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