Grupo ree

Los grupos de Ree  son grupos de tipo Lie sobre un campo finito que Ree [1] [2] construyó a partir de automorfismos excepcionales de diagramas de Dynkin que invierten la dirección de múltiples aristas, lo que generaliza los grupos de Suzuki que Suzuki encontró usando un método diferente. Los grupos fueron los últimos en ser descubiertos en infinitas familias de grupos finitos simples .

A diferencia de los grupos de Steinberg, los grupos de Ree no están dados por los puntos de un grupo algebraico reductivo definido sobre un campo finito. En otras palabras, no hay un "grupo algebraico de Ree" relacionado con los grupos de Ree de la misma manera que (digamos) los grupos unitarios están relacionados con los grupos de Steinberg. Sin embargo, existen algunos exóticos grupos algebraicos pseudoreductivos sobre cuerpos imperfectos cuya construcción está relacionada con la construcción de grupos de Ree, ya que utilizan los mismos exóticos automorfismos del diagrama de Dynkin que cambian las longitudes de las raíces.

Tits [3] definió los grupos de Ree sobre campos infinitos de característica 2 y 3. Tits [4] y Hee [5] introdujeron los grupos de Ree de álgebras de Kac-Moody generalizadas de dimensión infinita .

Edificio

Si X es un diagrama de Dynkin, Chevalley construyó grupos algebraicos divisibles correspondientes a X , en particular dando grupos X ( F ) con valores en el campo F. Estos grupos tienen los siguientes automorfismos:

Los grupos de Steinberg y Chevalley se pueden construir como puntos fijos del endomorfismo X ( F ) para el cierre algebraico del campo F. Para los grupos de Chevalley, el automorfismo es el endomorfismo de Frobenius de F , mientras que para los grupos de Steinberg, el automorfismo es el endomorfismo de Frobenius multiplicado por el automorfismo del diagrama de Dynkin.

Sobre campos de característica 2 los grupos B 2 ( F ) y F 4 ( F ) y sobre campos de característica 3 los grupos G 2 ( F ) tienen un endomorfismo cuyo cuadrado es un endomorfismo relacionado con el endomorfismo de Frobenius del campo F. En términos generales, este endomorfismo proviene de un automorfismo de orden 2 del diagrama de Dynkin, donde se ignora la longitud de las raíces.

Supongamos que el cuerpo F tiene un endomorfismo cuyo cuadrado es un endomorfismo de Frobenius: . Entonces el grupo Ree se define como el grupo de elementos g de X ( F ) tales que . Si el campo F es perfecto, entonces y son automorfismos, y el grupo de Ree es el grupo de puntos fijos de la involución en X ( F ) .

En el caso de que F sea un cuerpo finito de orden p k (con p = 2 o 3), existe un endomorfismo del cuadrado de Frobenius exactamente cuando k = 2 n + 1 es impar, en cuyo caso es único. Así, esto da grupos Ree finitos como subgrupos de B 2 (2 2 n +1 ), F 4 (2 2 n +1 ) y G 2 (3 2 n +1 ), fijos por involución.

Grupos de Chevalley, grupos de Steinberg y grupos de Ree

La conexión entre los grupos de Chevalley, los grupos de Steinberg y los grupos de Ree es aproximadamente la siguiente. Dado un diagrama de Dynkin X , Chevalley construyó un esquema de grupo sobre los números enteros Z cuyos valores sobre campos finitos son grupos de Chevalley. En general, se pueden tomar puntos fijos de un endomorfismo de un grupo X ( F ) , donde F  es la clausura algebraica de un cuerpo finito, tal que algún grado es cierto grado del endomorfismo de Frobenius . Tres casos son posibles

Ree grupos de tipo 2 B 2

Los grupos Ree de tipo 2 B 2 fueron encontrados por primera vez por Suzuki [6] utilizando un enfoque diferente, y se los conoce comúnmente como grupos Suzuki . Rea señaló que pueden construirse a partir de grupos de tipo B 2 utilizando una variante de la construcción de Steinberg [7] . Ree se dio cuenta de que se podría aplicar una construcción similar a los diagramas de Dynkin F 4 y G 2 , lo que daría lugar a dos nuevas familias de grupos simples finitos|.

Ree grupos de tipo 2 G 2

Los grupos Ree de tipo 2 G 2 (3 2 n +1 ) fueron introducidos por Ree [1] , quien demostró que todos son simples excepto el primer grupo 2 G 2 (3), que es isomorfo al grupo de automorfismos SL 2 (8) . Wilson [8] dio una construcción simplificada de los grupos de Ree como automorfismos de un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre un campo con 3 2 n +1 elementos que conservan la forma bilineal, la forma trilineal y el producto bilineal.

El grupo Ree tiene orden , donde

El multiplicador de Schur es trivial para n  ≥ 1 y para 2 G 2 (3).

El grupo de automorfismos exterior es cíclico y tiene orden.

El grupo Ree a veces se denota como Ree( q ), R( q ) o

El grupo de Ree tiene una representación de permutación doblemente transitiva sobre puntos y actúa como automorfismos del sistema de Steiner . También actúa sobre un espacio vectorial de 7 dimensiones sobre un campo con q elementos, siendo un subgrupo de G 2 ( q ).

Los subgrupos de 2-Sylow de los grupos de Ree son abelianos con orden 8. El teorema de Walter muestra que solo otros grupos simples finitos no abelianos con 2-subgrupos abelianos de Sylow son grupos lineales especiales proyectivos en dimensión 2 y grupos de Janko J1 . Estos grupos también jugaron un papel en el descubrimiento del primer grupo esporádico moderno. Tienen centralizadores de involución de la forma Z /2 Z × PSL 2 ( q ) y en el estudio de grupos con un centralizador de involución similar Janko encontró el grupo esporádico J 1 . Kleidman [9] descubrió sus subgrupos máximos.

Los grupos Ree de tipo 2 G 2 son extremadamente difíciles de describir. Thompson [10] [11] [12] estudió este problema y pudo demostrar que la estructura de tal grupo está determinada por algún automorfismo de un campo finito de característica 3, y si el cuadrado de este automorfismo es un automorfismo de Frobenius, entonces el grupo es un grupo Ree. También dio algunas condiciones engañosas que satisface un automorfismo . Finalmente, Bombieri [13] usó la teoría de la exclusión para mostrar que las condiciones de Thompson implican que en todos menos 178 casos pequeños que fueron eliminados por computadora ( Andrew Odlyzko y Hunt). Bombieri se dio cuenta de este problema al leer un artículo sobre la clasificación de Gorenstein [14] , quien sugirió que alguien externo, no un teórico de grupos, ayudaría a resolver el problema. Angear [15] dio un resumen combinado de la solución de Thompson y Bombieri a este problema.

Ree grupos de tipo 2 F 4

Los grupos de tipo Ree fueron introducidos por Ree [2] . Son simples, excepto el primero , para el cual Tetas [16] mostró que tiene un subgrupo simple de índice 2, que ahora se conoce como el grupo Tetas . Wilson [17] proporcionó una construcción simplificada de los grupos de Ree como una simetría de un espacio de 26 dimensiones sobre un campo de orden 2 2 n +1 que conserva la forma cuadrática, la forma cúbica y la multiplicación parcial.

El grupo Ree tiene el orden donde . El multiplicador de Schur es trivial. El grupo de automorfismos exterior es cíclico con orden .

Estos grupos de Ree tienen propiedades inusuales, de modo que el grupo de Coxeter del par (B, N) no es cristalográfico, es un grupo diédrico de orden 16. Tits [18] mostró que todos los polígonos de Moufang se obtienen a partir de grupos de Ree de tipo

Véase también

Notas

  1. ↑ 12 Rey , 1960 .
  2. ↑ 12 Ree , 1961 .
  3. ↑ Tetas, 1960 .
  4. ↑ Tetas, 1989 .
  5. ↑ Hee, 1990 .
  6. ↑ Suzuki, 1960 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Wilson, 2010 .
  9. ↑ Kleidman, 1988 .
  10. ↑ Thompson, 1967 .
  11. ↑ Thompson, 1972 .
  12. ↑ Thompson, 1977 .
  13. ↑ Bombieri, 1980 .
  14. ↑ Gorenstein, 1979 .
  15. ↑ Enguehard, 1986 .
  16. ↑ Tetas, 1964 .
  17. ↑ Wilson, 2010b .
  18. ↑ Tetas, 1983 .

Literatura

Enlaces