Grupo de cubos de rubik
grupo de cubos de rubik |
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Lleva el nombre de |
Cubo de rubik |
Estudió en |
teoría de grupos |
orden de grupo |
4.325200327449E+19 |
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El grupo del cubo de Rubik es un subgrupo del grupo simétrico S 48 , cuyos elementos corresponden a transformaciones del cubo de Rubik . Transformación significa el efecto de girar cualquiera de las caras o una secuencia de vueltas de caras [1] .
Definición
Cada una de las rotaciones de las caras del cubo de Rubik se puede considerar como un elemento del grupo simétrico del conjunto de 48 etiquetas del cubo de Rubik que no son los centros de las caras. Marcamos los centros de las caras con letras (ver la figura), y las etiquetas restantes con números del 1 al 48. Ahora, girando las caras correspondientes 90 ° en el sentido de las agujas del reloj, podemos asociar los elementos del grupo simétrico :
Entonces el grupo de cubos de Rubik se define como un subgrupo generado por rotaciones de seis caras de 90° [2] :
Propiedades
El orden del grupo es [2] [3] [4] [5] [6]
Sea el gráfico de Cayley de un grupo con 18 generadores correspondientes a 18 movimientos de la métrica FTM .
Cada una de las configuraciones se puede resolver en no más de 20 movimientos FTM. En otras palabras, la excentricidad del vértice del gráfico correspondiente al estado "ensamblado" del rompecabezas es 20 [7] .
El diámetro del gráfico también es 20 [8] .
El orden más alto de elemento en es 1260. Por ejemplo, la secuencia de movimientos debe repetirse 1260 veces [9] antes de que el cubo de Rubik vuelva a su estado original [10] [11] .
no es un grupo abeliano , ya que, por ejemplo, . En otras palabras, no todos los pares de elementos conmutan [12] .
Subgrupos
Todo grupo cuyo orden no exceda de 12 es isomorfo a algún subgrupo del grupo del cubo de Rubik. Todo grupo no abeliano cuyo orden no exceda de 24 también es isomorfo a algún subgrupo del grupo del cubo de Rubik. Los grupos ( grupo cíclico de orden 13) y ( grupo diédrico de orden 26) no son isomorfos a ningún subgrupo del grupo del cubo de Rubik [13] .
Centro de grupo
El centro del grupo consta de elementos que conmutan con cada elemento del grupo. El centro del grupo del cubo de Rubik consta de dos elementos: la transformación de identidad y el superflip [5] [13] .
Subgrupos cíclicos
En julio de 1981, Jesper C. Gerved y Torben Maack Bisgaard demostraron que el grupo de cubos de Rubik contiene elementos de 73 órdenes diferentes del 1 al 1260, y encontraron el número de elementos de cada orden posible [14] [15] [16] .
Orden de elementos |
Secuencia de rotación de caras
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cuatro |
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6 |
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63 |
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105 |
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1260 |
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El grupo de cubos de Rubik contiene subgrupos de orden
cíclico
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 28, 30, 33, 35, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 55, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 77, 80, 84, 90, 99, 105, 110, 112, 120, 126, 132, 140, 144, 154, 165, 168, 180, 198, 210, 231, 240, 252, 280, 315, 330, 336, 360, 420, 462, 495, 504, 630, 720, 840, 990, 1260.
Solo un elemento (el elemento de identidad del grupo) tiene orden 1; el segundo orden más raro es 11 ( 44.590.694.400 elementos ); alrededor del 10,6% de todos los elementos ( 4601524692892926000 ) tienen orden 60 [14] [16] .
La tabla muestra ejemplos de secuencias de rotación de caras correspondientes a elementos de determinados órdenes [11] [17] [18] .
Grupo de cuadrados
El grupo cuadrado (square group) es un subgrupo del grupo generado por rotaciones de 180° de caras [5] [19] :
El orden del grupo de cuadrados es 663 552 [20] .
El grupo de cuadrados se utiliza en el algoritmo de Thistlethwaite , con cuya ayuda se pudo demostrar que 45 movimientos son suficientes para resolver el Cubo de Rubik.
Supergrupo del cubo de Rubik
Las etiquetas ubicadas en los centros de las caras del Cubo de Rubik no se mueven, sino que giran. En un cubo de Rubik regular, la orientación de los centros de las caras es invisible.
El grupo de todas las transformaciones del cubo de Rubik con orientaciones de centros de caras visibles se denomina supergrupo del cubo de Rubik. Es veces más grande que el grupo [5] .
Ciclo hamiltoniano en el gráfico de Cayley
Hay un ciclo hamiltoniano en el gráfico de Cayley de un grupo con 12 generadores correspondientes a movimientos de la métrica QTM . El ciclo encontrado usa rotaciones de solo 5 de 6 caras [21] [22] [23] .
Hay una conjetura de Lovas correspondiente para un gráfico de Cayley arbitrario.
Véase también
Notas
- ↑ A menudo, en la literatura, tres conceptos diferentes, estrictamente hablando, no están separados: el estado (configuración) del cubo de Rubik, la transformación y la secuencia de giros de las caras ("movimientos"). Véase, por ejemplo, Erik D. Demaine, Martin L. Demaine, Sarah Eisenstat, Anna Lubiw, Andrew Winslow. Algoritmos para resolver cubos de Rubik . - "Las configuraciones del Cubo de Rubik, o de manera equivalente las transformaciones de una configuración a otra, forman un subgrupo de un grupo de permutaciones, generado por los movimientos de torsión básicos". Consultado el 14 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 3 de abril de 2017. (indefinido) . Suele quedar claro por el contexto si estamos hablando de estados o de transformaciones que transfieren un estado a otro.
- ↑ 1 2 Schönert, Martin Analizando el cubo de Rubik con GAP . Consultado el 19 de julio de 2013. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2013.
- ↑ V. Dubrovski. Matemáticas del Cubo Mágico // Kvant. - 1982. - Nº 8 . - S. 22 - 27, 48 . (Ruso)
- ↑ Jaap Scherphuis. Cubo de Rubik 3x3x3 . El número de posiciones (inglés) . Consultado el 19 de julio de 2013. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2013.
- ↑ 1 2 3 4 Jaap Scherphuis. Matemáticas útiles . Consultado el 22 de julio de 2013. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2013.
- ↑ Ryan Heise. Teoría del cubo de Rubik: Leyes del cubo (inglés) . Consultado el 21 de julio de 2013. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2013.
- ↑ Rokicki, T.; Kociemba, H.; Davidson, M.; y Dethridge, J. El número de Dios es 20 . Fecha de acceso: 19 de julio de 2013. Archivado desde el original el 26 de julio de 2013.
- ↑ Weisstein, Cubo de Eric W. Rubik . Consultado el 22 de julio de 2013. Archivado desde el original el 2 de junio de 2013.
- ↑ Lucas Garrón. (RU2 D'B D')1260 (inglés) . Consultado el 22 de julio de 2013. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2013.
- ↑ Joyner, David. Aventuras en la teoría de grupos: el cubo de Rubik, la máquina de Merlín y otros juguetes matemáticos . — Baltimore: Prensa de la Universidad Johns Hopkins, 2002. - Pág . 7 . - ISBN 0-8018-6947-1 .
- ↑ 1 2 Jamie Mulholland. Clase 21: Cubo de Rubik: Subgrupos del Grupo Cubo (enlace no disponible) (2011). Archivado desde el original el 24 de noviembre de 2015. (indefinido)
- ↑ Davis, Tom. Teoría de grupos a través del cubo de Rubik (2006). Consultado el 22 de julio de 2013. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2013. (indefinido)
- ↑ 1 2 Matemáticas del cubo de Rubik, 1996 , p. 209.
- ↑ 1 2David Singmaster. Circular Cúbica, Edición 3 y 4 . Órdenes de Elementos (págs. 34-35 ) . Consultado el 24 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 14 de septiembre de 2015.
- ↑ Walter Randelshofer. Posibles pedidos . Consultado el 24 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 24 de noviembre de 2015. (indefinido)
- ↑ 1 2 Jesper C. Gerved, Torben Maack Bisgaard. (Carta a David B. Singmaster) (27 de julio de 1981). Archivado desde el original el 1 de agosto de 2015. (indefinido)(carta a D. Singmaster con tablas que contienen el número de elementos de cada orden posible del grupo del cubo de Rubik)
- ↑ Miniaturas matemáticas, 1991 .
- ↑ Michael ZR Gottlieb. Calculadora de pedidos . Fecha de acceso: 24 de noviembre de 2015. Archivado desde el original el 3 de febrero de 2016. (indefinido)
- ↑ Matemáticas del Cubo de Rubik, 1996 , p. 234.
- ↑ Jaap Scherphuis. Subgrupos de cubos . Consultado el 22 de julio de 2013. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2013.
- ↑ Bruce Norskog. ¡Un circuito hamiltoniano para el cubo de Rubik! . Foro del Dominio del Cubo. Consultado el 21 de julio de 2013. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2013. (indefinido)
- ↑ Bruce Norskog. ¡Un circuito hamiltoniano para el cubo de Rubik! . speedsolution.com. Consultado el 21 de julio de 2013. Archivado desde el original el 5 de septiembre de 2013. (indefinido)
- ↑ Matemáticas del Cubo de Rubik, 1996 , p. 129.
Literatura
- Joyner, David. Aventuras en la teoría de grupos: el cubo de Rubik, la máquina de Merlín y otros juguetes matemáticos . — Baltimore: Prensa de la Universidad Johns Hopkins, 2002. - ISBN 0-8018-6947-1 .
- Savin A.P. Miniaturas matemáticas / Artista E. Shabelnik. - M .: Literatura infantil , 1991. - S. 79-81. — 127 págs. - (Saber y poder). - ISBN 5-08-000596-3 .
- W.D. Joyner. Matemáticas del Cubo de Rubik (1996). Fecha de acceso: 5 de diciembre de 2015. Archivado desde el original el 20 de febrero de 2016. (indefinido)
Enlaces