Grupo diedro

El grupo diédrico ( diedral group ) es el grupo de simetría de un polígono regular , que incluye tanto las rotaciones como las simetrías axiales [1] . Los grupos diedros son los ejemplos más simples de grupos finitos y juegan un papel importante en la teoría de grupos , la geometría y la química . Es bien conocido y bastante trivialmente verificado que un grupo formado por dos involuciones con un número finito de elementos en el dominio de definición es un grupo diédrico.

Notación

Hay dos formas principales de escribir el grupo diédrico asociado con un polígono de lados. En geometría , un grupo se escribe como , mientras que en álgebra general el mismo grupo se denota como , donde el índice es el número de elementos en el grupo. También existe la notación de Coxeter , en la que la simetría axial de la orden se denota como ) y la rotación de la orden como . Otra entrada es la notación orbifold , en la que la simetría axial se denota como y las rotaciones como . $norte$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {2n}}$ $2n$ $[norte]$ $norte$ ${\ estilo de visualización [n] ^ {+))$ ${\ estilo de visualización * nn}$ $norte$

En este artículo (o, a veces, ) se refiere a las simetrías de un -gon regular. ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {n}}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $norte$

Definición

Elementos

Un -gon regular tiene varias simetrías: rotaciones y reflexiones axiales , formando un grupo diédrico . Si es impar, cada eje de simetría pasa por el punto medio de uno de los lados y el vértice opuesto. Si son pares, hay ejes de simetría que conectan los puntos medios de los lados opuestos y ejes que conectan los vértices opuestos. En cualquier caso, hay ejes de simetría y elementos en el grupo de simetrías. La reflexión sobre un eje, y luego sobre el otro, da como resultado una rotación del doble del ángulo entre los ejes. Las siguientes imágenes muestran el efecto del elemento en la señal de tráfico Stop : $norte$ $2n$ $norte$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {n}}$ $norte$ $norte$ $n/2$ $n/2$ $norte$ $2n$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {8}}$

La primera línea muestra ocho rotaciones y la segunda línea muestra ocho reflexiones.

Estructura del grupo

Como con cualquier otro objeto geométrico, la composición de las dos simetrías de un polígono regular volverá a ser una simetría. Así, las simetrías de un polígono regular forman un grupo finito .

La tabla de Cayley muestra los resultados de las composiciones en el grupo de simetría de un triángulo equilátero . denota la transformación de identidad, y denota la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj en y grados respectivamente, , , y denota reflexiones sobre los ejes que se muestran en la figura de la derecha. ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {0}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {2}}$ ${\ estilo de visualización 120}$ ${\ estilo de visualización 240}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {0}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {2}}$

	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {2}}$
${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {2}}$
${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {0}}$
${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {1}}$
${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {1}}$
${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {2}}$
${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {0}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {2}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {1}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {0}}$

Por ejemplo, ya que aplica reflejos sucesivos y da una rotación por . Tenga en cuenta que la composición no es una operación conmutativa . ${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {2} \ mathrm {S} _ {1} = \ mathrm {R} _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {2}}$ $120^{\círculo}$

En el caso general, el grupo contiene elementos y y como operación tiene una composición, la cual viene dada por las fórmulas: ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {R} _ {0}, \ puntos \ mathrm {R} _ {n-1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {0}, \ puntos \ mathrm {S} _ {n-1}}$

{\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {R} _{j}=\mathrm {R} _{i+j))

{\displaystyle \mathrm {S}_{i}\mathrm {R}_{j}=\mathrm {S}_{ij))

{\displaystyle \mathrm {R} _{i}\mathrm {S} _{j}=\mathrm {S} _{i+j))

{\displaystyle \mathrm {S}_{i}\mathrm {S}_{j}=\mathrm {R}_{ij))

En todos los casos, la suma y resta de índices debe hacerse utilizando residuos de módulo . $norte$

Representación matricial

Si colocamos el centro de un polígono regular en el origen, los elementos del grupo diédrico se convierten en aplicaciones lineales del plano . Esto permite que los elementos se representen como un grupo de matrices , con la multiplicación de matrices como la operación de composición. Tal representación es un ejemplo de una representación bidimensional de un grupo . ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {n}}$ $2$

Tomemos como ejemplo los elementos del grupo . Se pueden representar como las siguientes matrices: ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {4}}$ $ocho$

{\begin{matriz}R_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{1}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-1\\[0.2em]1&0\end{smallmatrix}}{\bigr )},&R_{2}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}-1&0\\ [0.2em]0&-1\end{matriz pequeña}}{\bigr)},&R_{3}={\bigl (}{\begin{matriz pequeña}0&1\\[0.2em]-1&0\end{matriz pequeña}} {\bigr)},\\[1em]S_{0}={\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\[0.2em]0&-1\end{smallmatrix)){\bigr)},&S_ {1}={\bigl (}{\begin{pequeña matriz}0&1\\[0.2em]1&0\end{pequeña matriz}}{\bigr)},&S_{2}={\bigl (}{\begin{pequeña matriz) }-1&0\\[0.2em]0&1\end{matriz pequeña}}{\bigr)},&S_{3}={\bigl (}{\begin{matriz pequeña}0&-1\\[0.2em]-1&0\ end{matriz pequeña}}{\bigr)}.\end{matriz}}

En general, las matrices para elementos tienen la siguiente forma: ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} _ {n}}$

{\begin{alineado}R_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n))&-\sin {\frac {2\pi k}{ n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}\ \ {\text{i} }\\S_{k}&={\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi k}{n}}&\sin {\frac {2\pi k}{n}}\\\sin {\frac {2\pi k}{n}}&-\cos {\frac {2\pi k}{n}}\end{pmatrix}}.\end{alineado}}

Aquí , es la matriz de rotación en sentido antihorario por el ángulo , y es la reflexión sobre el eje que forma un ángulo con el eje de abscisas . ${\ Displaystyle \ mathrm {R} _ {k}}$ ${\frac {2\pi k}{n))$ ${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {k}}$ ${\frac {\pi k}{n))$

Pequeños grupos diédricos

Porque obtenemos . Esta notación rara vez se usa, excepto para designar otros grupos en una secuencia, ya que el grupo es equivalente a . $n=1$ $\mathrm {Dih} _{1}$ $Z_{2}$

Porque obtenemos - el grupo cuádruple de Klein . $n=2$ $\mathrm {Dih} _{2}$

Ambos casos son excepciones en la serie:

Son abelianos , mientras que para todos los demás el grupo no es abeliano. $norte$ $\mathrm {Dih} _{n}$
No son subgrupos del grupo simétrico porque para estos . ${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {n}}$ ${\ estilo de visualización 2n> n!}$ $norte$

El gráfico de ciclo de los grupos diédricos consta de un ciclo de longitud y ciclos de longitud . Los vértices oscuros del siguiente gráfico de ciclo muestran la transformación de identidad, los vértices blancos muestran los elementos restantes del grupo. El ciclo consta de grados sucesivos de los elementos restantes. $norte$ $norte$ $2$


Dih 1	Dih 2	di 3	Dih 4	di 5	Dih 6	di 7

El grupo diédrico como grupo de simetría en 2D y grupo de rotación en 3D

Un ejemplo de un grupo abstracto Dih n y una forma común de representación gráfica es el grupo D n de isometrías planas que no mueven el origen. Estos grupos forman una de dos series de grupos de puntos discretos en el plano . D n consiste en n rotaciones por un ángulo divisible por 360°/ n alrededor del origen, y reflexiones sobre n ejes que pasan por el centro de coordenadas y un ángulo a los otros ejes divisible por 180°/ n . Estos puntos representan el grupo de simetría de un polígono regular de n lados (para n ≥ 3).

El grupo diédrico D n is es generado por una rotación r de orden n y una reflexión s de orden 2 tal que

{\displaystyle srs=r^{-1))

En términos de geometría: una imagen especular de una rotación parece una rotación inversa.

En términos de números complejos : multiplicación por y conjugación. $e^{{2\pi i \sobre n}}$

En términos de matrices: dado

r_{1}={\begin{bmatriz}\cos {2\pi \sobre n}&-\sin {2\pi \sobre n}\\[8pt]\sin {2\pi \sobre n}&\ cos {2\pi \over n}\end{bmatrix}}\qquad s_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

y definiendo y para podemos escribir las reglas para la formación de D n como $r_{j}=r_{1}^{j}$ $s_{j}=r_{j}\,s_{0}$ $j\in \{1,\ldots,n-1\}$

r_{j}\,r_{k}=r_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

r_{j}\,s_{k}=s_{{(j+k){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,r_{k}=s_{{(jk){\text{ mod }}n}}

s_{j}\,s_{k}=r_{{(jk){\text{ mod }}n}}.

(Comparar Matriz de rotación .)

El grupo diédrico D 2 se genera mediante una rotación de r de 180 grados y una simetría de s con respecto al eje X. Los elementos de D 2 se pueden representar como { e , r , s , rs }, donde e es la identidad transformación y rs es la simetría sobre el eje ' Y.

D 2 es isomorfo al grupo cuádruple de Klein .

Para n>2, las operaciones de rotación y reflexión sobre una recta no son conmutativas y D n no es abeliana. Por ejemplo, en D 4 , rotar 90 grados y luego voltear da un resultado muy diferente que voltear y luego rotar.

Por lo tanto, junto con aplicaciones obvias a problemas de simetría en el plano, estos grupos sirven como los ejemplos más simples de grupos no abelianos y, a menudo, se usan como contraejemplos de teoremas restringidos a grupos abelianos.

2 n elementos de D n se pueden escribir como e , r , r 2 , ..., r n −1 , s , rs , r 2 s , ..., r n −1 s . Los primeros n elementos enumerados son rotaciones, los n restantes son reflexiones sobre los ejes (todos tienen orden 2). El resultado de dos rotaciones o dos reflexiones será una rotación. El resultado de una rotación y una reflexión será una reflexión.

Así, hemos establecido que D n es un subgrupo O(2) .

Sin embargo, la notación D n se usa para subgrupos de SO(3) que también son grupos de tipo Dih n : el grupo de simetría de un polígono incrustado en un espacio tridimensional (si n ≥ 3). Tales figuras pueden entenderse como sólidos degenerados (de ahí el nombre de diedro ( dihedron').

Ejemplos de simetría de diedros bidimensionales

2D D 6 - (símbolo rechazado) Estrella Roja de David
2D D 24 - Ashoka Chakra - un símbolo en la bandera de la India .

Definiciones equivalentes

Las siguientes definiciones son equivalentes: $\mathrm {Dih} _{n}$

El grupo de automorfismos de un gráfico que consta solo de un ciclo con vértices (si ). $norte$ $n\geqslant 3$
Grupo con vistas

D_{n}=\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,srs=r^{-1}\rangle

D_{n}=\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle .

De la segunda representación se sigue que pertenece a la clase de los grupos de Coxeter .

\mathrm {Dih} _{n}

Propiedades

Las propiedades de los grupos diédricos con dependen de la paridad . Por ejemplo, el centro de un grupo consta solo de la identidad para impar y dos elementos para par, a saber, la identidad y . Para números impares , el grupo abstracto es isomorfo al producto directo y . $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 3$ $norte$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $norte$ ${\ estilo de visualización r^{n/2}}$ $norte$ $\mathrm {Dih} _{2n}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Z} _ {2}}$

Si divide , entonces tiene subgrupos de la forma y un subgrupo . Así, el número total de subgrupos del grupo ( ) es igual a , donde es el número de divisores naturales y es la suma de divisores naturales de . $metro$ $norte$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $Nuevo Méjico$ $\mathrm {Dih} _{m}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Z} _ {m}}$ $\mathrm {Dih} _{n}$ $n\geqslant 1$ $\mathrm {d} (n)+\mathrm {\sigma} (n)$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {d} (n)}$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {\ sigma} (n)}$ $norte$

Conjugación de clases de reflexión

Todos los reflejos son conjugados por pares en el caso de impares , pero caen en dos clases de conjugación para pares . En términos de isomorfismo de -gons regulares: para los impares , cualquier reflejo se obtiene de cualquier otro aplicando una rotación, mientras que para los pares, solo la mitad de los reflejos se pueden obtener de algún reflejo por rotación. Desde un punto de vista geométrico, en un ágono impar cada eje de simetría pasa por uno de los vértices y el punto medio del lado opuesto, y en un ágono par hay dos conjuntos de ejes, cada conjunto corresponde a su clase de conjugación - ejes que pasan por los vértices y ejes que pasan por los puntos medios de los lados. $norte$ $norte$ $norte$ $norte$ $norte$

Algebraicamente, estos son representantes de elementos conjugados del teorema de Sylow : para impar , cualquier reflexión junto con el elemento idéntico forma un subgrupo de orden , que es un subgrupo de Sylow 2 ( es la potencia máxima de dos que se dividen ), mientras que para par , estos subgrupos del -ésimo orden no son Sylow, ya que (máxima potencia de dos) divide el orden del grupo. $norte$ $2$ $2=2^{1}$ $2n=2(2k+1)$ $norte$ $2$ $cuatro$

Para even , existe en cambio un automorfismo externo que intercambia los dos tipos de reflejos. $norte$

Grupos de automorfismos

El automorfismo del grupo Dih n es isomorfo al grupo afín Aff(Z/nZ) y tiene orden , donde la función de Euler es igual al número de números naturales menores que n y primos relativos a él. $=\{ax+b\mid(a,n)=1\}$ $n\phi(n),$ $\fi$

Esto se puede entender en términos de un generador de reflexión y rotaciones elementales (rotaciones en , para k coprimo con n ). Qué automorfismo es interno y cuál es externo depende de la paridad de n . $k(2\pi /n)$

Para n impar , el grupo diédrico no tiene centro, por lo que cualquier elemento define un automorfismo interno no trivial. Incluso para n , la rotación de 180° (reflexión sobre el centro de coordenadas) es un elemento no trivial del centro.
Así, para n impar , el grupo de automorfismos internos tiene orden 2 n, y para n par tiene orden n.
Para n impar , todas las reflexiones son conjugadas, para pares, se dividen en dos clases (las que pasan por dos vértices y las que pasan por los puntos medios de los lados), y estas dos clases están asociadas con un automorfismo externo, que puede ser representado como una rotación por (la mitad del ángulo de rotación mínima). $\alfiler$
Las rotaciones dan un subgrupo normal. La conjugación de reflexión invierte el signo (dirección) de la rotación, pero por lo demás permanece sin cambios. Un automorfismo que multiplica ángulos por k (coprimo con n ) es externo a menos que $k=\pm1.$

Ejemplos de automorfismos de grupo

Dih 9 tiene 18 automorfismos internos . Como grupo de isometría 2D, D 9 tiene reflejos a intervalos de 20°. 18 automorfismos internos proporcionan rotaciones de reflejos por un múltiplo de 20° y reflejos. Como grupos de isometría son todos automorfismos. Hay, además, 36 automorfismos exteriores , por ejemplo, multiplicar el ángulo de giro por 2.

Generalizaciones

Hay varias generalizaciones importantes de los grupos diédricos:

Un grupo diedro infinito es un grupo infinito con una estructura algebraica similar a la de los grupos diedros finitos. Se puede considerar como el grupo de simetría de los números enteros .
El grupo ortogonal O (2), es decir, el grupo de simetría circular , tiene propiedades similares a las de los grupos diédricos finitos
La familia de grupos diédricos generalizados incluye las extensiones anteriores, así como muchas otras.
Los grupos cuasiédricos son una familia de grupos finitos con propiedades similares a las de los grupos diédricos finitos.

Véase también

Notas

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. Álgebra abstracta (indefinida) . — 3er. - John Wiley & Sons , 2004. - ISBN 0-471-43334-9 .

Enlaces

Grupo diedro n de orden 2n por Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project .
Grupo diedro en Groupprops
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