Grupo de permutaciones de rango 3

El grupo de permutación de rango 3 actúa transitivamente sobre el conjunto de manera que el estabilizador puntual tiene 3 órbitas [1] . El estudio de estos grupos fue iniciado por Donald Higman [2] [3] . Se han descubierto algunos grupos simples esporádicos como grupos de permutación de rango 3.

Clasificación

Los grupos de permutaciones primitivas de rango 3 se clasifican en las siguientes clases:

Cameron [4] clasificó los grupos de tal manera que , donde el zócalo T de T 0 es simple y T 0 es un grupo 2-transitivo de grado . $T\times T\leqslant G\leqslant T_{0}\operatorname {wr} Z/2Z$ ${\ sqrt {n}}$
Liebeck [5] grupos clasificados con subgrupos normales abelianos elementales regulares
Bannay [6] grupos clasificados cuyo zócalo es un grupo alternante simple
Cantor [7] clasificó grupos cuyo zócalo es un grupo clásico simple
Liebeck y Saxl [8] clasificaron los grupos cuyo zócalo es un grupo clásico simple excepcional o esporádico

Ejemplo

Si G es cualquier grupo 4-transitivo que actúa sobre un conjunto S , entonces su acción sobre pares de elementos de S es un grupo de permutación de rango 3 [9] . En particular, la mayoría de los grupos alternos, los grupos simétricos y los grupos de Mathieu tienen acciones transitivas de 4 y, por lo tanto, pertenecen a grupos de permutación de rango 3.

Un grupo lineal completo proyectivo que actúa sobre líneas en un espacio proyectivo de dimensión al menos 3 es un grupo de permutación de rango 3.

Algunos grupos de 3 permutaciones son grupos de permutaciones de rango 3 (por la acción sobre las permutaciones).

Por lo general, un estabilizador de punto de un grupo de permutación de rango 3 que actúa en una de las órbitas es un grupo de permutación de rango 3. Esto da algunas "cadenas" de grupos de permutación de rango 3, como la cadena Suzuki y la cadena que termina en Fisher grupos _

A continuación se enumeran algunos grupos de permutaciones inusuales de rango 3 (muchos de ellos se tomaron de Liebeck y Saxl [8] ).

Para cada fila de la siguiente tabla, en la columna "tamaño", el número a la izquierda del signo es igual al exponente del grupo de permutación [10] del grupo de permutación para el grupo de permutación mencionado en la fila. La suma a la derecha del signo igual muestra la longitud de las tres órbitas de los estabilizadores del punto del grupo de permutación. Por ejemplo, la expresión 15 = 1+6+8 en la primera fila de la tabla significa que el grupo de permutación tiene un índice de 15 y las longitudes de las tres órbitas de los estabilizadores del punto del grupo de permutación son 1, 6 y 8, respectivamente.

Grupo	Estabilizador de puntos	el tamaño	Comentarios
$\mathrm {A} _{6}=\mathrm {L} _{2}(9)=$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{4}(2)^{\prime }=\mathrm {M} _{1}0^{\prime ))$	${\ estilo de visualización \ mathrm {S} _ {4}}$	15 = 1+6+8	Pares de puntos o conjuntos de 3 bloques de 2 en una representación de permutación de 6 puntos; dos clases
${\ estilo de visualización \ mathrm {A} _ {9}}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {L} _ {2} (8): 3}$	120 = 1+56+63	línea proyectiva P 1 (8); dos clases
${\ estilo de visualización \ mathrm {A} _ {10}}$	${\ estilo de visualización (\ mathrm {A} _ {5} \ veces \ mathrm {A} _ {5}): 4}$	126 = 1+25+100	Conjunto de 2 bloques de 5 en representación de permutación natural de 10 puntos
${\ estilo de visualización \ mathrm {L} _ {2} (8)}$	$7:2=\mathrm {Dih} (7)$	36 = 1+14+21	Pares de puntos en P 1 (8)
${\ estilo de visualización \ mathrm {L} _ {3} (4)}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {A} _ {6}}$	56 = 1+10+45	Hiperovales en P 2 (4); tres clases
${\ estilo de visualización \ mathrm {L} _ {4} (3)}$	${\ estilo de visualización \ matemáticas {PSp} _ {4} (3): 2}$	117 = 1+36+80	Polaridades simplécticas P 3 (3); dos clases
$\mathrm {G} _{2}(2)^{\prime }=\mathrm {U} _{3}(3)$	${\ estilo de visualización \ matemáticas {PSL} _ {3} (2)}$	36 = 1+14+21	Cadena Suzuki
${\ estilo de visualización \ mathrm {U} _ {3} (5)}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {A} _ {7))$	50 = 1+7+42	Acción sobre los vértices del gráfico de Hoffman-Singleton ; tres clases
${\ estilo de visualización \ mathrm {U} _ {4} (3)}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {L} _ {3} (4)}$	162 = 1+56+105	dos clases
${\ estilo de visualización \ mathrm {Esp} _ {6} (2)}$	$\mathrm {G} _{2}(2)=\mathrm {U} _{3}(3):2$	120 = 1+56+63	Grupo de Chevalley de tipo G 2 actuando sobre el álgebra octonion sobre GF(2)
$\mathrm {\Omega } _{7}(3)$	${\ estilo de visualización \ mathrm {G} _ {2} (3)}$	1080 = 1+351+728	grupo de Chevalley de tipo G 2 actuando sobre los octoniones imaginarios del álgebra de octoniones sobre GF(3); dos clases
${\ estilo de visualización \ mathrm {U} _ {6} (2)}$	${\ estilo de visualización \ mathrm {U} _ {4} (3): 2_ {2)}$	1408 = 1+567+840	El estabilizador puntual es la imagen de la representación lineal resultante de "bajar" la representación compleja del grupo de Mitchell (el grupo de reflexión complejo) módulo 2; tres clases
M11 _	$\mathrm {M} _{9}:2=3^{2}:\mathrm {SD} _{16}$	55 = 1+18+36	Pares de puntos en representación de permutación de 11 puntos
M12 _	$\mathrm {M} _{10}:2=\mathrm {A} _{6}.2^{2}=$ $\mathrm {P{\Gamma }L} (2,9)$	66 = 1+20+45	Pares de puntos o pares de bloques complementarios S(5,6,12) en una representación de permutación de 12 puntos; dos clases
M22 _	2 4 :A 6	77 = 1+16+60	Bloques S(3,6,22)
J2 _	${\ estilo de visualización \ mathrm {U} _ {3} (3)}$	100 = 1+36+63	Cadena Suzuki ; acción sobre los vértices del grafo de Hall - Janko
Grupo Higman - Sims HS	M22 _	100 = 1+22+77	Acción en vértices de Count Higman - Sims
M22 _	${\ estilo de visualización \ mathrm {A} _ {7))$	176 = 1+70+105	dos clases
M23 _	${\ estilo de visualización \ mathrm {M} _ {21}:}$ ${\displaystyle 2=\mathrm {L} _{3}(4):2_{2))$ $=\mathrm {P{\Sigma }L} (3,4)$	253 = 1+42+210	Pares de puntos en representación de permutación de 23 puntos
M23 _	$2^{4}:\mathrm {A} _{7}$	253 = 1+112+140	Bloques S(4,7,23)
Grupo McLaughlin McL	${\ estilo de visualización \ mathrm {U} _ {4} (3)}$	275 = 1+112+162	Acción en las cimas del Conde McLaughlin
M24 _	${\ estilo de visualización \ mathrm {M} _ {22}: 2}$	276 = 1+44+231	Pares de puntos en representación de permutación de 24 puntos
G2 ( 3 )	${\ estilo de visualización \ mathrm {U} _ {3} (3): 2}$	351 = 1+126+244	dos clases
G2 ( 4 )	J2 _	416 = 1+100+315	Cadena Suzuki
M24 _	${\ estilo de visualización \ mathrm {M} _ {12}: 2}$	1288 = 1+495+792	Pares de conjuntos complementarios de 12 puntos en una representación de permutación de 24 puntos
Grupo Suzuki Suz	${\ estilo de visualización \ mathrm {G} _ {2} (4)}$	1782 = 1+416+1365	Cadena Suzuki
G2 ( 4 )	${\ estilo de visualización \ mathrm {U} _ {3} (4): 2}$	2016 = 1+975+1040
Co 2	${\ Displaystyle \ mathrm {PSU} _ {6} (2): 2}$	2300 = 1+891+1408
Grupo Rudvalis Ru	2 F 4 (2)	4060 = 1+1755+2304
fi 22	$2.\mathrm {PSU} _{6}(2)$	3510 = 1+693+2816	3-permutaciones
fi 22	$\mathrm {\Omega } _{7}(3)$	14080 = 1+3159+10920	dos clases
fi 23	2.Fi22 _ _	31671 = 1+3510+28160	3-permutaciones
${\ estilo de visualización \ mathrm {G} _ {2} (8).3}$	$\mathrm {SU}_{3}(8).6$	130816 = 1+32319+98496
fi 23	${\displaystyle \mathrm {P\Omega } _{8}^{+}(3).\mathrm {S} _{3))$	137632 = 1+28431+109200
Fi 24 '	fi 23	306936 = 1+31671+275264	3-permutaciones

Notas

↑ No debe confundirse con el grupo de 3 permutaciones, que representa permutaciones de tres elementos. En ruso, los nombres de los grupos son casi iguales, en inglés, el primero se llama grupo de permutación de rango 3 , el segundo es grupo de 3 transposiciones .
↑ Highman, 1964 .
↑ Highman, 1971 .
↑ Cameron, 1981 .
↑ Liebek, 1987 .
↑ Bannai, 1971-1972 .
↑ Kantor, Liebler, 1982 .
↑ 1 2 Liebeck, Saxl, 1986 .
↑ . Las tres órbitas son: el propio par fijo; pares que tienen un elemento común con un par fijo; pares que no tienen elementos comunes con un par fijo.
↑ Cuando se habla de un grupo de permutación en un conjunto de n elementos, el exponente del grupo es el número de elementos del conjunto, es decir, norte _ No debe confundirse con el orden de grupo. Si G es un grupo general, denotemos el mínimo , tal que G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico S. El número se denomina exponente del grupo G ( Berkovich 1999 ). Véase también Grupo de permutación . $\ delta (G)$ $n\en \mathbb {N}$ $\ delta (G)$

Literatura

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Brouwer AE, Cohen AM, Neumaier A. Gráficos de distancia regular. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1989. - Vol. 18. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)]). - ISBN 978-3-540-50619-5 .
Pedro J. Cameron. Grupos de permutación finitos y grupos simples finitos // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1981. - T. 13 , núm. 1 . — P. 1–22 . — ISSN 0024-6093 . -doi : 10.1112 / blms/13.1.1 .
Donald G. Higman. Grupos de permutación finitos de rango 3 // Mathematische Zeitschrift . - 1964. - T. 86 . — S. 145–156 . — ISSN 0025-5874 . -doi : 10.1007/ BF01111335 .
Donald G. Higman. Una encuesta de algunas preguntas y resultados sobre grupos de permutación de rango 3 // Actes du Congrès International des Mathématiciens (Niza, 1970) . - Gauthier-Villars, 1971. - T. 1. - S. 361-365. Archivado el 25 de noviembre de 2017 en Wayback Machine .
William M. Kantor, Robert A. Liebler. Las representaciones de permutación de rango 3 de los grupos clásicos finitos // Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . - 1982. - T. 271 , núm. 1 . — Pág. 1–71 . — ISSN 0002-9947 . -doi : 10.2307/ 1998750 .
Martín W. Liebeck. Los grupos de permutación afines de rango tres // Actas de la London Mathematical Society. - 1987. - T. 54 , núm. 3 . — S. 477–516 . — ISSN 0024-6115 . -doi : 10.1112 / plms/s3-54.3.477 .
Martin W. Liebeck, Jan Saxl. Los grupos de permutación primitivos finitos de rango tres // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1986. - T. 18 , núm. 2 . — S. 165–172 . — ISSN 0024-6093 . -doi : 10.1112 / blms/18.2.165 .
Yakov Berkovich. El grado y el índice de un grupo finito // Revista de álgebra. - 1999. - T. 214, . - S. 740-761 . (enlace no disponible)