Grupo de Mathieu

Los grupos de Mathieu  son cinco grupos simples esporádicos , M 11 , M 12 , M 22 , M 23 y M 24 , introducidos por Émile Leonard Mathieu [1] [2] . Los grupos son grupos de permutación transitiva múltiple de 11, 12, 22, 23 o 24 objetos. Estos fueron los primeros grupos esporádicos abiertos.

A veces se utiliza la notación M 9 , M 10 , M 20 y M 21 para grupos conexos (que actúan sobre conjuntos de 9, 10, 20 y 21 puntos, respectivamente), es decir, estabilizadores de puntos en grupos más grandes. Aunque no son grupos simples esporádicos, son subgrupos de grupos más grandes y pueden usarse para construirlos. John Conway demostró que esta secuencia se puede extender para dar un grupoide Mathieu M 13 que actúa en 13 puntos. M 21 es un grupo simple pero no esporádico, siendo isomorfo a PSL(3,4).

Historia

Mathieu [3] introdujo el grupo M 12 como parte del estudio de los grupos de permutaciones transitivas múltiples y mencionó brevemente (en la página 274) el grupo M 24 , indicando su orden. En un artículo de 1873 [2] , dio más detalles, incluidos grupos electrógenos explícitos para estos grupos, pero el grupo no se ve fácilmente a partir de sus argumentos de que los grupos generados no son solo grupos alternos , y durante varios años la existencia de los grupos fue En duda. Miller [4] incluso publicó un artículo que demostraba erróneamente que M 24 no existe, aunque poco después, en un artículo de 1900 [5] , reconoció que la prueba era defectuosa y dio una prueba de que los grupos de Mathieu son simples. Witt [6] [7] finalmente puso fin a las dudas sobre la existencia de estos grupos al construirlos como extensiones transitivas sucesivas de grupos de permutación, así como grupos de automorfismos de los sistemas de Steiner .

Después de los grupos de Mathieu, no se descubrieron nuevos grupos esporádicos hasta 1965, cuando se descubrió el grupo J 1 .

Múltiples grupos transitivos

Mathieu estaba interesado en encontrar grupos de permutaciones transitivas múltiples . Para un número natural k , el grupo de permutación G que actúa sobre n puntos es k -transitivo si se dan dos conjuntos de puntos a 1 , ... a k y b 1 , ... b k con la propiedad de que todos los a i son distintos y todos los b i son diferentes, hay un elemento g de G que asigna a i a b i para todo i de 1 a k . Se dice que tal grupo es agudamente k -transitivo si el elemento g es único (es decir, la acción sobre k -tuplas es regular (estrictamente transitiva), no solo transitiva).

El grupo M 24 es 5-transitivo, y el grupo M 12  es marcadamente 5-transitivo. Otros grupos de Mathieu (simples y no simples), que son subgrupos correspondientes a estabilizadores de m puntos, tienen una transitividad más baja ( M 23 es 4-transitivo, etc.).

Los únicos grupos 4-transitivos son los grupos simétricos S k para k al menos 4, los grupos alternos A k para k igual o mayor que 6, y los grupos de Mathieu M 24 , M 23 , M 12 y M 11 [8] .

El resultado clásico es el resultado de Jordan de que solo los grupos simétricos y alternantes (de grados k y k  + 2 respectivamente), así como M 12 y M 11 son grupos de permutación claramente k -transitivos para k al menos 4.

Ejemplos importantes de grupos transitivos múltiples son los grupos 2-transitivos y los grupos de Zassenhaus . Los grupos de Zassenhaus en particular incluyen el grupo lineal general proyectivo de la línea proyectiva sobre un campo finito, PGL (2, F q ), que es claramente 3-transitivo (ver relación dual ) en los elementos.

Tabla de órdenes y transitividad

Construcción de grupos de Mathieu

Los grupos de Mathieu se pueden construir de diferentes maneras.

Grupos de permutación

M 12 tiene un subgrupo simple de orden 660, un subgrupo maximal. Este subgrupo es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL 2 ( F 11 ) sobre un campo de 11 elementos . Si −1 se denota por a e infinito por b , los dos generadores estándar son permutaciones (0123456789a) y (0b)(1a)(25)(37)(48)(69). El tercer generador, que da M 12 , toma el elemento x del grupo F 11 en , como en la permutación (26a7)(3945).

Este grupo no es isomorfo a ninguno de los miembros de infinitas familias de grupos finitos simples y se llama esporádico. M 11 es un estabilizador puntual en M 12 y también resulta ser un grupo simple esporádico. M 10 , el estabilizador de dos puntos, no es esporádico, sino que es un grupo casi simple cuyo conmutador es el grupo alterno A 6 . Está relacionado con el excepcional automorfismo exterior del grupo A 6 . El estabilizador de 3 puntos es un grupo unitario especial proyectivo PSU(3,2 2 ) que tiene solución. El estabilizador de 4 puntos es un grupo de cuaterniones .

De manera similar, M 24 tiene un subgrupo simple máximo de orden 6072 isomorfo a PSL 2 ( F 23 ). Un generador suma 1 a cada elemento del campo (dejando fijo el punto N en el infinito), es decir, la permutación (0123456789ABCDEFGHIJKLM)( N ), y el otro es la permutación de orden inverso , (0N)(1M)(2B )(3F)(4H)(59 )(6J)(7D)(8K)(AG)(CL)(EI). El tercer generador, que da M 24 , traduce el elemento x del grupo F 23 en . Los cálculos muestran que se trata de una permutación de (2G968)(3CDI4)(7HABM)(EJLKF).

Los estabilizadores de 1 y 2 puntos, M 23 y M 22 también resultan ser grupos simples esporádicos. El estabilizador de 3 puntos es un grupo simple y es isomorfo al grupo lineal especial proyectivo PSL 3 (4).

Estas construcciones han sido citadas por Carmichael [9] . Dixon y Mortimer [10] atribuyen las permutaciones a Émile Mathieu.

Grupos de automorfismos de los sistemas de Steiner

Existe , hasta equivalencia , un único S (5,8,24) sistema Steiner W 24 ( esquema de Witt ). El grupo M 24 es el grupo de automorfismos de este sistema de Steiner, es decir, el conjunto de permutaciones que asignan cada bloque a algún otro bloque. Los subgrupos M 23 y M 22 se definen como estabilizadores de un punto y dos puntos, respectivamente.

De manera similar, existe, hasta la equivalencia, un único sistema S(5,6,12) Steiner W 12 , y el grupo M 12 es su grupo de automorfismos. El subgrupo M 11 es un estabilizador puntual.

W 12 se puede construir a partir de geometría afín en el espacio vectorial F 3 × F 3 , el sistema S (2,3,9).

Una construcción alternativa de W 12  es el “gatito” de Curtis [11] .

En el libro de Conway y Sloan se puede encontrar una introducción a la construcción del W 24 con el maravilloso generador de octavas de R. T. Curtis y el W 12 analógico ( ) de Conway .

Grupos de automorfismos de los códigos de Golay

El grupo M 24 es el grupo de automorfismos de permutaciones del código binario extendido de Golay W , es decir, el grupo de permutaciones de 24 coordenadas que mapean W en sí mismo. Todos los grupos de Mathieu se pueden construir como grupos de permutación de códigos binarios de Golay.

M 12 tiene índice 2 en su grupo de automorfismo, y M 12 :2 es isomorfo a un subgrupo de M 24 . M 12 es un estabilizador de código de 12 unidades. M 12 :2 estabiliza la sección en dos códigos complementarios de 12 bits.

Existe una conexión natural entre los grupos de Mathieu y los grupos de Conway más grandes , ya que la red de Leach se construyó sobre el código binario de Golay y ambos grupos, de hecho, se encuentran en un espacio de dimensión 24. Los grupos de Conway se encuentran en Monster . Robert Gries se refiere a los 20 grupos esporádicos que se encuentran en Monster como The Happy Family , y a los grupos de Mathieu como la primera generación .

Dessins d'enfants

Los grupos de Mathieu se pueden construir usando dessins d'enfants (fr: dibujo infantil) [12] , y el dibujo asociado con M 12 se llama "Monsieur Mathieu" (Monsieur Mathieu) [13] por le Brun .

Notas

1. ↑ Mathieu, 1861 .
2. ↑ 12 Mathieu , 1873 .
3. ↑ Mathieu, 1861 , pág. 271.
4. ↑ Molinero, 1898 .
5. ↑ Molinero, 1900 .
6. ↑ Witt, 1938a .
7. ↑ Witt, 1938b .
8. ↑ Cameron, 1999 , pág. 110.
9. ↑ Carmichael, 1956 , pág. 151, 164, 263.
10. ↑ Dixon, Mortimer, 1996 , pág. 209.
11. ↑ Curtis, 1984 .
12. ↑ Literalmente - dibujo de un niño (fr.). El término fue propuesto por Grothendieck para uno de los tipos de incrustaciones de grafos.
13. ↑ le Bruyn, 2007 .

Literatura

• Gorenstein D. Grupos simples finitos. — 1985.
• Pedro J. Cameron. Grupos de permutación. - Cambridge University Press , 1999. - V. 45. - (Textos para estudiantes de la London Mathematical Society). - ISBN 978-0-521-65378-7 .
• Roberto D. Carmichael. Introducción a la teoría de grupos de orden finito . - Nueva York: Publicaciones de Dover , 1956. - ISBN 978-0-486-60300-1 . Año de publicación original: 1937
• C. Choi. Sobre Subgrupos de M 24 . I: Estabilizadores de subconjuntos // Transacciones de la American Mathematical Society. — Sociedad Matemática Estadounidense, 1972a. - Mayo ( v. 167 ). — P. 1–27 . -doi : 10.2307/ 1996123 . — .
• C. Choi. Sobre Subgrupos de M 24 . II: los subgrupos máximos de M 24  // Transacciones de la American Mathematical Society. — Sociedad Matemática Estadounidense, 1972b. - Mayo ( v. 167 ). — P. 29–47 . -doi : 10.2307/ 1996124 . — .
• John Horton Conway . Tres conferencias sobre grupos excepcionales // Grupos simples finitos / MB Powell, Graham Higman. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - págs. 215-247. — (Actas de una Conferencia de Instrucción organizada por la London Mathematical Society (un Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN), Oxford, septiembre de 1969). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Reimpreso enConway, Sloane, 1999, págs. 267–298
• John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, RT Curtis, Robert A. Wilson. Atlas de grupos finitos . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
• John Horton Conway , Neil JA Sloane . Empaquetaduras de Esferas, Celosías y Grupos . — 3er. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
• Curtis RT Un nuevo enfoque combinatorio de M₂₄ // Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge. - 1976. - T. 79 , núm. 1 . — P. 25–42 . — ISSN 0305-0041 . -doi : 10.1017/ S0305004100052075 .
• , ISSN 0305-0041 , DOI 10.1017/S0305004100053251 
• Curtis RT El sistema de Steiner S(5, 6, 12), el grupo de Mathieu M₁₂ y el "gatito" // Teoría computacional de grupos. Actas del simposio de la London Mathematical Society celebrado en Durham, del 30 de julio al 9 de agosto de 1982. / Michael D. Atkinson. - Boston, MA: Academic Press , 1984. - págs. 353-358. — ISBN 978-0-12-066270-8 .
• Hans Cuyper. Los grupos de Mathieu y sus geometrías . — 1998.
• John D. Dixon, Brian Mortimer. Grupos de permutación . - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1996. - V. 163. - (Textos de Grado en Matemáticas). — ISBN 978-0-387-94599-6 . -doi : 10.1007 / 978-1-4612-0731-3 .
• Ferdinand Georg Frobenius . Über die Charaktere der mehrfach transitiven Gruppen . - Mouton De Gruyter, 1904. - S. 558-571. — (Berlín Berichte). — ISBN 978-3-11-109790-9 .
• Roberto L. Jr. Griess. Doce grupos esporádicos. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1998. - (Monografías de Springer en Matemáticas). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
• Emilio Mathieu. Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les Former et sur les sustituciones qui les laissent invariables  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1861. - T. 6 . — S. 241–323 .
• Emilio Mathieu. Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités  // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1873. - T. 18 . — P. 25–46 .  (enlace no disponible) Idioma: Francés
• Miller GA Sobre la supuesta función transitiva quíntuple de 24 elementos y 19!/48 valores.  // Mensajero de Matemáticas. - 1898. - T. 27 . — S. 187–190 .
• Miller GA Sur plusieurs groupes simples  // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1900. - T. 28 . — S. 266–267 .
• Marcos Ronan. La simetría y el monstruo. - Oxford, 2006. - ISBN 978-0-19-280722-9 . (una introducción para el lector lego, que describe los grupos de Mathieu en un contexto histórico)
• Thomas M. Thompson. Desde códigos de corrección de errores pasando por empaques de esferas hasta grupos simples . - Asociación Matemática de América , 1983. - V. 21. - (Monografías Matemáticas de Carus). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
• Ernst Witt. über Steinersche Systeme // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — Springer Berlín / Heidelberg, 1938a. - T. 12 . — S. 265–275 . — ISSN 0025-5858 . -doi : 10.1007/ BF02948948 .
• Ernst Witt. Die 5-fach transitiven Gruppen von Mathieu // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1938b. - T. 12 . — S. 256–264 . -doi : 10.1007/ BF02948947 .
• Lieven le Bruyn. Señor Mathieu . - 2007. Archivado el 1 de mayo de 2010.

Enlaces

• ATLAS: Mathieu group M 10 Archivado el 14 de mayo de 2011 en Wayback Machine .
• ATLAS: Mathieu group M 11 Archivado el 14 de mayo de 2011 en Wayback Machine .
• ATLAS: Mathieu group M 12 Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine .
• ATLAS: Mathieu group M 20 Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine .
• ATLAS: Mathieu group M 21 Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine .
• ATLAS: Mathieu group M 22 Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine .
• ATLAS: Mathieu group M 23 Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine .
• ATLAS: Mathieu group M 24 Archivado el 16 de julio de 2011 en Wayback Machine .
• Cómo hacer el Grupo Mathieu M 24 .
• Mathieu grupo M 9 en GroupNames

• Scientific American Archivado el 8 de septiembre de 2008 en Wayback Machine . Un conjunto de acertijos basados ​​​​en las matemáticas de los grupos de Mathieu.
• M12 esporádico Archivado el 2 de diciembre de 2017 en Wayback Machine Una aplicación de iPhone que implementa rompecabezas basados ​​en M 12 , presentado como una permutación de "giro" y una permutación de "intercambio" seleccionable